《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 已知曲线$y=\ln x$，点$P(e,1)$是曲线上的一点，则曲线在点$P$处的切线方程为________.

答案： $x - ey = 0$ 解析：因为$y'=\frac{1}{x}$，所以$k=y'\vert_{x = e}=\frac{1}{e}$， 所以切线方程为$y - 1=\frac{1}{e}(x - e)$，即$x - ey = 0$。

2. 分别求曲线$y=\frac{1}{x}$与抛物线$y = x^{2}$在交点处的切线方程.

答案： 解：易求得曲线$y=\frac{1}{x}$与抛物线$y = x^{2}$的交点坐标为$(1,1)$。 曲线$y=\frac{1}{x}$在交点处的切线的斜率为$y'\vert_{x = 1}=-1$，故切线方程为$y - 1=-(x - 1)$，即$x + y - 2 = 0$。 抛物线$y = x^{2}$在交点处的切线的斜率为$y'\vert_{x = 1}=2$，故切线方程为$y - 1=2(x - 1)$，即$2x - y - 1 = 0$。

3. 求过曲线$f(x)=\cos x$上一点$P(\frac{\pi}{3},\frac{1}{2})$且与曲线在这点的切线垂直的直线方程.

答案： 解：因为$f(x)=\cos x$， 所以$f'(x)=-\sin x$。 所以曲线$f(x)=\cos x$在点$P(\frac{\pi}{3},\frac{1}{2})$处切线的斜率为$f'(\frac{\pi}{3})=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$， 所以所求直线的斜率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$， 所求直线方程为$y - \frac{1}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}(x - \frac{\pi}{3})$， 即$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{9}\pi+\frac{1}{2}$。