《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$，$a_{1}=\frac{3}{5}$，$a_{n}=2-\frac{1}{a_{n - 1}}(n\geqslant2,n\in\mathbf{N}^{*})$，数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{n}=\frac{1}{a_{n}-1}(n\in\mathbf{N}^{*})$. 求证：数列$\{ b_{n}\}$是等差数列，并求出通项公式.

答案： 证明：因为an = 2 - 1/an - 1(n≥2，n∈N*)，bn = 1/(an - 1)(n∈N*)， 所以bn + 1 - bn = 1/(an + 1 - 1) - 1/(an - 1) = 1/(2 - 1/an - 1) - 1/(an - 1) = an/(an - 1) - 1/(an - 1) = 1。 又b1 = 1/(a1 - 1) = - 5/2， 所以数列{bn}是以 - 5/2为首项，1为公差的等差数列，通项公式为bn = n - 7/2。

4. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，且$na_{n + 1}-(n + 1)a_{n}=2n^{2}+2n$.
(1) 求$a_{2}$，$a_{3}$；
(2) 证明：数列$\{\frac{a_{n}}{n}\}$是等差数列，并求$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 解：由已知，得a2 - 2a1 = 4，则a2 = 2a1 + 4。 又a1 = 1，所以a2 = 6。 由2a3 - 3a2 = 12， 得2a3 = 12 + 3a2，所以a3 = 15。@@证明：由nan + 1 - (n + 1)an = 2n² + 2n， 得[nan + 1 - (n + 1)an]/[n(n + 1)] = 2，即an + 1/(n + 1) - an/n = 2， 所以数列{an/n}是首项为a1/1 = 1，公差为d = 2的等差数列。 所以an/n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1。所以an = 2n² - n。