《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 已知递减等差数列$\{ a_{n}\}$的前三项和为18，前三项的积为66，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 解：（方法一）依题意，得$\begin{cases}a_{1}+a_{2}+a_{3}=18 \\a_{1}a_{2}a_{3}=66\end{cases}$，所以$\begin{cases}3a_{1}+3d=18 \\a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)=66\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_{1}=11 \\d=-5\end{cases}$或$\begin{cases}a_{1}=1 \\d=5\end{cases}$。因为数列$\{a_{n}\}$是递减等差数列，所以$d0$。故$a_{1}=11$，$d=-5$。所以$a_{n}=11+(n - 1)\times(-5)=-5n + 16$。即等差数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=-5n + 16$。 （方法二）设等差数列$\{a_{n}\}$的前三项依次为$a - d$，$a$，$a + d$，则$\begin{cases}(a - d)+a+(a + d)=18 \\(a - d)a(a + d)=66\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=6 \\d=\pm5\end{cases}$。又因为$\{a_{n}\}$是递减等差数列，所以$d0$，所以$a = 6$，$d=-5$。所以等差数列$\{a_{n}\}$的首项$a_{1}=11$，公差$d=-5$。所以$a_{n}=11+(n - 1)\times(-5)=-5n + 16$。

2. 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.

答案： 解：设这四个数分别为$a - 3d$，$a - d$，$a + d$，$a + 3d$。根据题意，得$\begin{cases}(a - 3d)+(a - d)+(a + d)+(a + 3d)=26 \\(a - d)(a + d)=40\end{cases}$，化简，得$\begin{cases}4a=26 \\a^{2}-d^{2}=40\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{13}{2} \\d=\pm\frac{3}{2}\end{cases}$。所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2。

3. 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们的相同项构成的数列的通项公式及相同项的个数.

答案： 解：记数列2，5，8，…，197为$\{a_{n}\}$，由已知，数列$\{a_{n}\}$的首项为2，公差为3。所以通项公式为$a_{n}=3n - 1(1\leq n\leq66)$。记数列2，7，12，…，197为$\{b_{m}\}$，则$b_{m}=5m - 3(1\leq m\leq40)$。若数列$\{a_{n}\}$的第$n$项与数列$\{b_{m}\}$的第$m$项相同，即$a_{n}=b_{m}$，则$3n - 1=5m - 3$，所以$n=\frac{5m - 2}{3}=m+\frac{2(m - 1)}{3}$。又$n\in N^{*}$，所以必须有$m - 1=3k$，即$m = 3k + 1$（$k$为非负整数）。又$1\leq m\leq40$，所以$m = 1$，4，7，…，40。所以两数列的相同项为2，17，32，…，197。记两数列的相同项构成的数列为$\{c_{n}\}$，则$\{c_{n}\}$的通项公式为$c_{n}=15n - 13$，$\frac{40 - 1}{3}+1=14$，共有14个相同项。