《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

2. 下列数列是等比数列的有______.
①$1,\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{9},\frac{1}{12},\cdots$；
②$10,10,10,10,10,\cdots$；
③$\frac{2}{3},(\frac{2}{3})^{2},(\frac{2}{3})^{3},(\frac{2}{3})^{4},\cdots$；
④$1,0,1,0,1,0,\cdots$；
⑤$1,-4,16,-64,256,\cdots$.

答案： ②③⑤

任务二 等比数列的通项公式、等比中项及应用
[探究活动]
黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，大约为 0.618. 这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割. 在直角三角形中，$c$为斜边，如果一直角边$a$是将斜边$c$进行黄金分割成两部分中的较长部分，则$a,b,c$成等比数列. 现有一直角三角形恰好满足上面的特性，其斜边长为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
探究 1：直角边$a$的长是多少?
探究 2：由题意，直角三角形三边$a,b,c$满足哪些数量关系?
探究 3：该三角形两直角边平方差的绝对值是多少?

答案： 探究1：由题意，$c = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$，$\frac{a}{c} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，所以$a = \frac{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}{4}=1$。 探究2：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$b^{2}=ac$。 探究3：由探究1、探究2，得$a^{2}=1$，$b^{2}=ac=\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$，所以$|a^{2}-b^{2}|=\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。

1. 已知数列$\{a_{n}\}$，$a_{1}=1$，$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$，则数列$\{a_{n}\}$的通项公式是 （ ）
A. $a_{n}=2n$
B. $a_{n}=\frac{1}{2n}$
C. $a_{n}=\frac{1}{2^{n - 1}}$
D. $a_{n}=\frac{1}{n^{2}}$

答案： C

2. 在等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，公比$q\neq\pm1$. 若$a_{m}=a_{2}a_{3}$，则$m$等于 （ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： C

3. 若数列$-1,a,b,c,-9$成等比数列，则实数$b$的值为 （ ）
A. -3
B. 3
C. $\pm3$
D. 不能确定

答案： A

4. 已知数列$\{a_{n}\}$是等比数列.
（1）若$a_{2}=4$，$a_{5}=-\frac{1}{2}$，求$a_{n}$；
（2）若$a_{2}+a_{5}=18$，$a_{3}+a_{6}=9$，$a_{n}=1$，求$n$.

答案： 4. 解：设等比数列$\{a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公比为$q$。 - （1）根据题意，可知$\begin{cases}a_{2}=a_{1}q = 4\\a_{5}=a_{1}q^{4}=-\frac{1}{2}\end{cases}$，所以$\begin{cases}q = -\frac{1}{2}\\a_{1}=-8\end{cases}$。所以$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}=-8\times(-\frac{1}{2})^{n - 1}=(-2)^{4 - n}$。 - （2）因为$a_{3}+a_{6}=(a_{2}+a_{5})q$，即$9 = 18q$，所以$q=\frac{1}{2}$。由$a_{1}q+a_{1}q^{4}=18$，得$a_{1}=32$。由$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}=1$，得$n = 6$。