《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

问题1：你能看出数列(1)：−1,1,−1,1,⋯与数列(2)：1,3,1,3,⋯的联系吗？由此写出数列(2)的一个通项公式.

答案： 数列
(1)每项加2得到数列
(2)。数列
(1)的通项公式是$a_{n}=(-1)^{n}$，故数列
(2)的通项公式是$a_{n}=(-1)^{n}+2$。

问题2：如何用递推公式$a_{n + 1} - a_n = 2$求出数列$\{a_n\}$的通项公式？

答案： 累加法。

问题3：如何用数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$表示$a_n$？

答案： $a_{n}=\begin{cases}S_{1},n = 1,\\S_{n}-S_{n - 1},n\geqslant2.\end{cases}$

1. 已知数列$\{a_n\}$，$a_1 = 1$，$a_{n + 1} = 2^n a_n$（$n \in \mathbf{N}^*$），则数列$\{a_n\}$的通项公式为 （ ）
A. $a_n = 2^{n - 1}$
B. $a_n = 2^n$
C. $a_n = 2^{\frac{n(n - 1)}{2}}$
D. $a_n = 2^{\frac{n^2}{2}}$

答案： C 解析：由$a_{n + 1}=2^{n}a_{n}$，得$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=2^{n}$，即$\frac{a_{2}}{a_{1}}\cdot\frac{a_{3}}{a_{2}}\cdot\frac{a_{4}}{a_{3}}\cdots\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=2^{1}\times2^{2}\times2^{3}\times\cdots\times2^{n - 1}(n\geqslant2)$， 即$\frac{a_{n}}{a_{1}}=2^{1 + 2+3+\cdots+(n - 1)}=2^{\frac{n(n - 1)}{2}}$， 故$a_{n}=2^{\frac{n(n - 1)}{2}}a_{1}=2^{\frac{n(n - 1)}{2}}(n\geqslant2)$。 当$n = 1$时，$a_{1}=1$，满足上式。故选C。

2. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_n = 2a_n - 4$（$n \in \mathbf{N}^*$），则$a_n$等于 （ ）
A. $2^{n + 1}$
B. $2^n$
C. $2^{n - 1}$
D. $2^{n - 2}$

答案： A 解析：因为$S_{n}=2a_{n}-4$，所以$S_{n - 1}=2a_{n - 1}-4(n\geqslant2)$，两式相减可得$S_{n}-S_{n - 1}=2a_{n}-2a_{n - 1}$，即$a_{n}=2a_{n}-2a_{n - 1}$，整理得$a_{n}=2a_{n - 1}$，即$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=2(n\geqslant2)$。因为$S_{1}=a_{1}=2a_{1}-4$，即$a_{1}=4$，所以数列$\{a_{n}\}$是首项为4，公比为2的等比数列，则$a_{n}=4\times2^{n - 1}=2^{n + 1}$。故选A。

3. 已知数列$\{a_n\}$，$a_1 = 1$，$a_{n + 1} = 2a_n + 3$，则$a_n =$________.

答案： $2^{n + 1}-3(n\in\mathbf{N}^{*})$ 解析：设递推公式$a_{n + 1}=2a_{n}+3$可以转化为$a_{n + 1}-t=2(a_{n}-t)$，即$a_{n + 1}=2a_{n}-t$，则$t=-3$。 故递推公式为$a_{n + 1}+3=2(a_{n}+3)$。 令$b_{n}=a_{n}+3$，则$b_{1}=a_{1}+3=4$，且$\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}=\frac{a_{n + 1}+3}{a_{n}+3}=2$。 所以$\{b_{n}\}$是以4为首项，2为公比的等比数列。 所以$b_{n}=4\times2^{n - 1}=2^{n + 1}$，即$a_{n}=2^{n + 1}-3(n\in\mathbf{N}^{*})$。

4. 数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，对任意的$n \in \mathbf{N}^*$都有$a_{n + 1} = a_1 + a_n + n$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为___________.

答案： $a_{n}=\frac{n(n + 1)}{2},n\in\mathbf{N}^{*}$ 解析：因为$a_{n + 1}=a_{n}+n + 1$，所以$a_{n + 1}-a_{n}=n + 1$，即$a_{2}-a_{1}=2$，$a_{3}-a_{2}=3$，$\cdots$，$a_{n}-a_{n - 1}=n(n\geqslant2)$，等式两边同时相加得$a_{n}-a_{1}=2 + 3+4+\cdots+n$， 即$a_{n}=a_{1}+2 + 3+4+\cdots+n=1 + 2+3+4+\cdots+n=\frac{n(n + 1)}{2}(n\geqslant2)$。 当$n = 1$时，也满足上式，所以数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{n(n + 1)}{2},n\in\mathbf{N}^{*}$。

5. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n + 1} = 2a_n + 3\times5^n$，$a_1 = 6$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为___________.

答案： $a_{n}=2^{n - 1}+5^{n}(n\in\mathbf{N}^{*})$ 解析：设$a_{n + 1}+x\times5^{n + 1}=2(a_{n}+x\times5^{n})$。① 将$a_{n + 1}=2a_{n}+3\times5^{n}$代入①式，得$2a_{n}+3\times5^{n}+x\times5^{n + 1}=2a_{n}+2x\times5^{n}$，等式两边消去$2a_{n}$，得$3\times5^{n}+x\times5^{n + 1}=2x\times5^{n}$，两边同时除以$5^{n}$，得$3 + 5x=2x$，则$x=-1$，代入①式得$a_{n + 1}-5^{n + 1}=2(a_{n}-5^{n})$。② 由$a_{1}-5^{1}=6 - 5=1\neq0$及②式得$a_{n}-5^{n}\neq0$，则$\frac{a_{n + 1}-5^{n + 1}}{a_{n}-5^{n}}=2$，所以数列$\{a_{n}-5^{n}\}$是以1为首项，2为公比的等比数列。所以$a_{n}-5^{n}=2^{n - 1}$。故$a_{n}=2^{n - 1}+5^{n}(n\in\mathbf{N}^{*})$。

问题1：等差数列的判定方法有哪些？

答案：
(1)定义法；
(2)通项公式法；
(3)等差中项法。

问题2：如何利用定义法判断一个数列是等差数列？

答案： 证明$a_{n}-a_{n - 1}=d(n\geq2,d为常数)$或$a_{n + 1}-a_{n}=d(n\in\mathbf{N}^{*},d为常数)$。