《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

3. 党的二十大报告指出：“必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展.”某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入的资金将比上一年减少 $\frac{1}{5}$，本年度当地旅游业收入估计为 400 万元. 由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长 $\frac{1}{4}$，则 $n$ 年内的总投入为________万元，$n$ 年内旅游业的总收入为________万元.

答案： $4000\times[1 - (\frac{4}{5})^n]$@@$1600\times[(\frac{5}{4})^n - 1]$

任务二 分组求和法
[探究活动]
“提丢斯数列”是由 18 世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第 3 项开始，每一项是前一项的 2 倍；将每一项加上 4 得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…；再将每一项除以 10 后得到“提丢斯数列”：0. 4，0. 7，1. 0，1. 6，2. 8，5. 2，10. 0，….
探究 1：数列 0，3，6，12，24，48，96，192，…是等比数列吗?
探究 2：根据叙述，你能写出“提丢斯数列”的通项公式吗?
探究 3：“提丢斯数列”的前 31 项和为多少?

答案： 不是，从第二项开始是等比数列。
@@记“提丢斯数列”为数列$\{a_n\}$， 则当$n\geq2$时，$10a_n - 4 = 3\times2^{n - 2}$， 解得$a_n=\frac{3\times2^{n - 2}+4}{10}$。 当$n = 1$时，$a_1 = 0.4\neq0.55$。 所以$a_n=\begin{cases}0.4,n = 1\\\frac{3\times2^{n - 2}+4}{10},n\geq2\end{cases}$。
@@由探究 2，得“提丢斯数列”前31项和为 $S_{31}=0.4 + 30\times\frac{4}{10}+\frac{3}{10}(2^0 + 2 + 2^2+\cdots+2^{29})=\frac{124}{10}+\frac{3}{10}\times\frac{1 - 2^{30}}{1 - 2}=\frac{3\times2^{30}}{10}+\frac{121}{10}=\frac{3\times2^{30}+121}{10}$。

1. 利用数列$\{ a_{n}\}:a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n},\cdots$构成一个新数列：$a_{1},a_{2}-a_{1},\cdots,a_{n}-a_{n - 1},\cdots$，此数列是首项为 1，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列. 求：
（1）数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）数列$\{ a_{n}\}$的前 $n$ 项和 $S_{n}$.

答案： 解：
(1)$a_n=a_1+(a_2 - a_1)+(a_3 - a_2)+\cdots+(a_n - a_{n - 1})=1+\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2+\cdots+(\frac{1}{3})^{n - 1}=\frac{3}{2}\times[1 - (\frac{1}{3})^n]$。
(2)$S_n=a_1 + a_2 + a_3+\cdots+a_n$ $=\frac{3}{2}\times(1-\frac{1}{3})+\frac{3}{2}\times[1 - (\frac{1}{3})^2]+\cdots+\frac{3}{2}\times[1 - (\frac{1}{3})^n]$ $=\frac{3}{2}n-\frac{3}{4}\times[1 - (\frac{1}{3})^n]$ $=\frac{3(2n - 1)}{4}+\frac{1}{4}\times(\frac{1}{3})^{n - 1}$。

2. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{2}+a_{7}=-23$，$a_{3}+a_{8}=-29$.
（1）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）设数列$\{ a_{n}+b_{n}\}$是首项为 1，公比为$\vert a_{2}\vert$的等比数列，求$\{ b_{n}\}$的前 $n$ 项和 $S_{n}$.

答案： 解：
(1)设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$。 依题意得$a_3 + a_8-(a_2 + a_7)=2d=-6$， 从而$d=-3$。 又$a_2 + a_7=2a_1 + 7d=-23$，解得$a_1=-1$。 所以数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=-3n + 2$。
(2)由
(1)得$a_2=-4$，所以$|a_2| = 4$。 而数列$\{a_n + b_n\}$是首项为1，公比为4的等比数列， 所以$a_n + b_n=4^{n - 1}$，即$-3n + 2 + b_n=4^{n - 1}$， 所以$b_n=3n - 2+4^{n - 1}$。 所以$S_n=[1 + 4 + 7+\cdots+(3n - 2)]+(1 + 4+4^2+\cdots+4^{n - 1})=\frac{n(3n - 1)}{2}+\frac{1 - 4^n}{1 - 4}=\frac{n(3n - 1)}{2}+\frac{4^n - 1}{3}$。