《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

2. 已知函数$f(x)=-x^2 + 3x$，求$f'(1)$.

答案： 解：因为$\Delta y=f(1+\Delta x)-f(1)=[-(1+\Delta x)^2+3(1+\Delta x)]-(-1 + 3)=-(\Delta x)^2+\Delta x$，所以$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\Delta x + 1$。所以$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(-\Delta x + 1)=1$。故$f^\prime(1)=1$。

3. 求函数$f(x)=x^2 - 2$在$x = 1$处的瞬时变化率.

答案： 解：因为$\Delta y=f(1+\Delta x)-f(1)=[(1+\Delta x)^2-2]-(1^2 - 2)=(\Delta x)^2+2\Delta x$，所以$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(\Delta x)^2+2\Delta x}{\Delta x}=\Delta x + 2$。所以$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=2$，所以函数$y = x^2 - 2$在$x = 1$处的瞬时变化率为2。

已知函数$f(x)$在$x = x_0$处可导.
探究1：$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 - \Delta x)-f(x_0)}{-\Delta x}=f'(x_0)$吗？
探究2：$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 - \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0)$吗？
【类题通法】
求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量，$\Delta y = f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)$；
(2)求平均变化率，$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$；
(3)取极限，$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
探究3：若函数$f(x)$在$x = x_0$处的导数为$2$，则$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{2\Delta x}$等于多少？

答案： 因为$\Delta x\rightarrow0$，所以$(-\Delta x)\rightarrow0$，所以$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{-\Delta x}=f^\prime(x_0)$。@@$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=-\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{-\Delta x}=-f^\prime(x_0)$。@@$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{2\Delta x}=\frac{1}{2}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{1}{2}f^\prime(x_0)=\frac{1}{2}\times2 = 1$。