《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

问题式预习
知识点一 判断函数$y = f(x)$的单调性的步骤
第 1 步，确定函数的_______；
第 2 步，求出导数$f'(x)$的_______；
第 3 步，用$f'(x)$的零点将$f(x)$的定义域划分为若干个区间，列表给出$f'(x)$在各区间上的_______，由此得出函数$y = f(x)$在定义域内的单调性.
知识点二 导数的绝对值与函数值变化的关系
一般地，设函数$y = f(x)$，在区间$(a,b)$上：
|导数的绝对值|函数值变化|函数的图象|
|----|----|----|
|越大|_______|比较“_______”（向上或向下）|
|越小|_______|比较“_______”（向上或向下）|
[微训练]

答案： 定义域@@零点@@正负@@较快@@陡峭@@较慢@@平缓

1. 函数$y = 3x - x^3$的单调递增区间为（ ）
A. $(0,+\infty)$
B. $(-\infty,-1)$
C. $(-1,1)$
D. $(1,+\infty)$

答案： C 解析：$y' = 3 - 3x^{2}$，令$y' ＞ 0$，得$-1 x 1$，即函数的单调递增区间为$(-1,1)$。

2. 已知$f'(x)$是$f(x)$的导函数，$f'(x)$的图象如图所示，则$f(x)$的图象只可能是（ ）

答案： D 解析：从$f'(x)$的图象可以看出，在区间$(a,\frac{a + b}{2})$内，导数单调递增；在区间$(\frac{a + b}{2},b)$内，导数单调递减。所以函数$f(x)$的图象在$(a,\frac{a + b}{2})$内越来越陡，在$(\frac{a + b}{2},b)$内越来越平缓。由此可知，只有选项 D 符合。

1. 函数$f(x)=ax^{3}-x^{2}+cx + d$的图象如图所示，则有 （ ）

A. $a＞0,c0,d＞0$
B. $a0,c0,d＞0$
C. $a0,c＞0,d＞0$
D. $a＞0,c＞0,d0$

答案： C

2. 已知函数$f(x)=x^{3}+x$，则“$a + b＞0$”是“$f(a)+f(b)＞0$”的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件

答案： C