《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

任务二 利用导数的乘法与除法法则求导
[探究活动]
已知函数$f(x)=x^{3},g(x)=x^{2}$.
探究1：$[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g'(x)$成立吗？
探究2：能否用$f(x)$和$g(x)$的导数表示$f(x)\cdot g(x)$的导数？如何表示？
探究3：对于其他函数也满足上述关系吗？
[评价活动]

答案： 不成立，因为$[f(x)\cdot g(x)]'=(x^{5})' = 5x^{4}$，而$f'(x)\cdot g'(x)=3x^{2}\cdot 2x = 6x^{3}$。@@能。因为$f'(x)=3x^{2}$，$g'(x)=2x$，$[f(x)\cdot g(x)]' = 5x^{4}$，有$[f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$。@@满足。

1. 已知$f(x)=\frac{1}{x}\cos x$，则$f(\pi)+f'(\frac{\pi}{2})=$________.

答案： $-\frac{3}{\pi}$ 解析：因为$f(x)=\frac{1}{x}\cos x$，所以$f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}\cos x-\frac{1}{x}\sin x$，所以$f'(\frac{\pi}{2})=-\frac{2}{\pi}$。又$f(\pi)=-\frac{1}{\pi}$，所以$f(\pi)+f'(\frac{\pi}{2})=-\frac{3}{\pi}$。

2. 求下列函数的导数.
(1)$y=(x^{2}+1)(x - 1)$；
(2)$y=x^{3}\cdot 10^{x}$；
(3)$y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x + 1}$.

答案： 解：
(1)因为$y=(x^{2}+1)(x - 1)=x^{3}-x^{2}+x - 1$，所以$y' = 3x^{2}-2x + 1$。@@
(2)$y'=(x^{3})'\cdot 10^{x}+x^{3}\cdot(10^{x})' = 3x^{2}\cdot 10^{x}+x^{3}\cdot 10^{x}\cdot\ln 10$。@@
(3)$y'=\frac{(e^{x})'(x + 1)-e^{x}(x + 1)'}{(x + 1)^{2}}=\frac{e^{x}(x + 1)-e^{x}}{(x + 1)^{2}}=\frac{xe^{x}}{(x + 1)^{2}}$。