《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

问题式预习
知识点 数学归纳法
1. 数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数 $n$ 有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)（归纳奠基）证明当 $n = n_0(n_0\in\mathbf{N}^*)$ 时命题成立；
(2)（归纳递推）以“当 $n = k(k\in\mathbf{N}^*,k\geqslant n_0)$ 时命题成立”为条件，推出“当________时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 $n_0$ 开始的所有正整数 $n$ 都成立，这种证明方法称为________.
2. 数学归纳法的框图表示

[微训练]

答案： $n = k + 1$@@数学归纳法

1. 判断（正确的打“√”，错误的打“×”）.
(1) 与自然数 $n$ 有关的问题都可以用数学归纳法进行证明. （ ）
(2) 在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用进行假设. （ ）
(3) 用数学归纳法证明等式时，由 $n = k$ 到 $n = k + 1$，等式的项数一定增加了一项. （ ）

答案： ×@@×@@×

2. 式子 $1 + k + k^2+\cdots + k^n(n\in\mathbf{N}^*)$，当 $n = 1$ 时，式子的值为 （ ）
A. 1
B. $1 + k$
C. $1 + k + k^2$
D. 以上都不对

答案： B

3. 用数学归纳法证明 $3^n\geqslant n^3(n\geqslant 3,n\in\mathbf{N}^*)$ 时，第一步应验证 （ ）
A. $n = 1$
B. $n = 2$
C. $n = 3$
D. $n = 4$

答案： C@@解析：由题知，$n$的最小值为3，所以第一步应验证$n = 3$时是否成立。