《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

2. 已知两曲线$y = x^{3}+ax$和$y = x^{2}+bx + c$都经过点$P(1,2)$，且在点$P$处有公切线.
(1)求$a,b,c$的值；
(2)求公切线所在的直线方程；
(3)若抛物线$y = x^{2}+bx + c$上的点$M$到直线$y = 4x - 5$的距离最短，求点$M$的坐标和最短距离.

答案： 解：
(1)根据导函数的定义，可知两个函数的导函数分别是 $y'=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x+\Delta x)^3+a(x+\Delta x)-(x^3+ax)}{\Delta x}=3x^2+a$， $y'=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x+\Delta x)^2+b(x+\Delta x)+c-(x^2+bx+c)}{\Delta x}=2x + b$。 将$P(1,2)$分别代入两曲线方程得到$2 = 1 + a$，$2 = 1 + b + c$。 又由题意得$3 + a = 2 + b$，解得$a = 1$，$b = 2$，$c=-1$。
(2)由
(1)知$y = x^3 + x$，$y' = 3x^2 + 1$，当$x = 1$时，$y' = 4$，故切线方程为$y = 4(x - 1)+2$，即$4x - y - 2 = 0$。 故公切线所在的直线方程为$4x - y - 2 = 0$。
(3)要使抛物线$y = x^2 + bx + c$上的点$M$到直线$y = 4x - 5$的距离最短，则抛物线在点$M$处的切线斜率应该与直线$y = 4x - 5$相同，则$2x + 2 = 4$，解得$x = 1$。 又因为点$M$在抛物线上，解得$M(1,2)$， 所以最短距离$d$即为点$M$到直线$y = 4x - 5$的距离。 代入点到直线的距离公式得$d=\frac{\vert4 - 2 - 5\vert}{\sqrt{4^2+(-1)^2}}=\frac{3\sqrt{17}}{17}$，即最短距离为$\frac{3\sqrt{17}}{17}$。

任务三 导数几何意义的综合应用
[探究活动]
已知曲线$C_{1}:y = x^{2}-1$与曲线$C_{2}:y = 1 - x^{3}$.
探究1：曲线$C_{1},C_{2}$在$x = x_{0}$处的切线斜率$k_{1},k_{2}$分别是多少？
探究2：若曲线$C_{1},C_{2}$在$x = x_{0}$处的切线互相平行，则$x_{0}$的值是多少？
探究3：若曲线$C_{1},C_{2}$在$x = x_{0}$处的切线互相平行，你能求出平行的切线方程吗？

答案： 由导数的几何意义可得 $k_1=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x_0+\Delta x)^2 - 1-(x_0^2 - 1)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2\Delta x\cdot x_0+(\Delta x)^2}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(2x_0+\Delta x)=2x_0$， $k_2=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1-(x_0+\Delta x)^3-(1 - x_0^3)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{-(\Delta x)^3-3x_0^2\cdot\Delta x-3x_0\cdot(\Delta x)^2}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}[-(\Delta x)^2-3x_0^2-3x_0\cdot\Delta x]=-3x_0^2$。@@因为曲线$C_1$，$C_2$在$x = x_0$处的切线互相平行，所以曲线$C_1$，$C_2$在$x = x_0$处的切线斜率$k_1$，$k_2$相等，由探究1得$2x_0=-3x_0^2$，解得$x_0 = 0$或$x_0=-\frac{2}{3}$。@@由探究2知$x_0 = 0$或$-\frac{2}{3}$。 若$x_0 = 0$，则曲线$C_1$的切线方程为$y-(x_0^2 - 1)=k_1(x - x_0)$，即$y-(-1)=0$，即$y=-1$； 曲线$C_2$的切线方程为$y-(1 - x_0^3)=k_2(x - x_0)$，即$y - 1 = 0$，即$y = 1$。 若$x_0=-\frac{2}{3}$，则曲线$C_1$的切线方程为$y-(x_0^2 - 1)=k_1(x - x_0)$，即$y+\frac{5}{9}=-\frac{4}{3}(x+\frac{2}{3})$，即$12x + 9x+13 = 0$； 曲线$C_2$的切线方程为$y-(1 - x_0^3)=k_2(x - x_0)$，即$y-(1+\frac{8}{27})=-\frac{4}{3}(x+\frac{2}{3})$，即$36x + 27y - 11 = 0$。