《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

|已知量|首项$a_1$、公比$q(q\neq1)$与项数$n$|首项$a_1$、末项$a_n$与公比$q(q\neq1)$|首项$a_1$、公比$q = 1$|
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|求和公式|$S_n=$____|$S_n=$____|$S_n=$____|

答案： $\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$@@$\frac{a_{1} - a_{n}q}{1 - q}$@@$na_{1}$

1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1)求等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和时，可直接套用公式$S_n=\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$. （ ）
(2)若首项为$a$的数列既是等比数列又是等差数列，则其前$n$项和等于$na$. （ ）
(3)若$a\in\mathbf{R}$，则$1 + a + a^2+\cdots + a^{n - 1}=\frac{1 - a^n}{1 - a}$. （ ）

答案： ×@@√@@×

2. (多选)在等比数列$\{a_n\}$中，其前$n$项和为$S_n$，$a_1 = 2$，$S_3 = 26$，则公比$q$可能为（ ）
A. 3
B. -4
C. -3
D. 4

答案： AB 解析：由题意可知 $q \neq 1$，且 $S_{3} = \frac{a_{1}(1 - q^{3})}{1 - q} = \frac{2(1 - q^{3})}{1 - q} = 26$，所以 $q^{2} + q - 12 = 0$，所以 $q = 3$ 或 $q = - 4$.

3. 在各项均为正数的等比数列$\{a_n\}$中，$S_n$为其前$n$项和. 若$a_1 = 81$，$a_5 = 16$，则$S_5 =$____.

答案： 211 解析：由 $16 = 81×q^{5 - 1}$，$q ＞ 0$，得 $q = \frac{2}{3}$， 所以 $S_{5} = \frac{81×[1 - (\frac{2}{3})^{5}]}{1 - \frac{2}{3}} = 211$.

知识点二 等比数列前$n$项和的性质
(1)若数列$\{a_n\}$为非常数列的等比数列，且其前$n$项和$S_n = A\cdot q^n + B(A\neq0,B\neq0,q\neq0,q\neq1)$，则必有$A + B =$____；反之，若某一非常数列的前$n$项和$S_n = A\cdot q^n - A(A\neq0,q\neq0,q\neq1)$，则该数列必为____数列.
(2)若等比数列$\{a_n\}$的公比$q\neq - 1$，前$n$项和为$S_n$，则$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$成等比数列，公比为$q^n$.
(3)当等比数列$\{a_n\}$的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比$\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=$____.

答案： 0
@@等比
@@$q$

知识点三 错位相减法求和
推导等比数列前$n$项和的方法是错位相减法，一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项____的前$n$项和.
[微训练]

答案： 乘积

1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1)若等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n = 2\times(\frac{1}{3})^n + m$，则$m = - 2$. （ ）
(2)若数列$\{a_n\}$是公比$q\neq1$的等比数列，则其前$n$项和公式可表示为$-Aq^n + A(A\neq0,q\neq0$且$q\neq1,n\in\mathbf{N}^*)$. （ ）

答案： √@@√