《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

3. 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10％的速度贬值.
(1)用一个式子表示$n(n\in N^{*})$年后这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能卖得多少万元(保留一位小数)？

答案： 解：
(1)设$n$年后，车的价值为$a_{n}$万元。 由题意得$a_{1}=13.5\times(1 - 10\%)$， $a_{2}=13.5\times(1 - 10\%)^{2}$， $a_{3}=13.5\times(1 - 10\%)^{3}$， …… $n$年后车的价值为$a_{n}=13.5\times0.9^{n}$。
(2)由
(1)得$a_{4}=13.5\times0.9^{4}\approx8.9$（万元）， 所以用满 4 年时卖掉这辆车，大概能卖得 8.9 万元。

任务三 等比数列与等差数列的综合应用
[探究活动]
将$n^{2}$个数排成$n$行$n$列的一个数阵，如下所示：
$a_{11}\ a_{12}\ a_{13}\ \cdots\ a_{1n}$
$a_{21}\ a_{22}\ a_{23}\ \cdots\ a_{2n}$
$a_{31}\ a_{32}\ a_{33}\ \cdots\ a_{3n}$
$\cdots$
$a_{n1}\ a_{n2}\ a_{n3}\ \cdots\ a_{nn}$
该数阵第一列的$n$个数从上到下构成以$m$为公差的等差数列，每一行的$n$个数从左到右构成以$m$为公比的等比数列(其中$m＞0$). 已知$a_{11}=2,a_{13}=a_{61}+1$.
探究1：$m$的值是多少？
探究2：$a_{67}$的值是多少？
探究3：$a_{ij}$的表达式是什么？

答案： 探究 1：因为$a_{11}=2$，$a_{13}=a_{61}+1$，所以$2m^{2}=2+(6 - 1)m + 1$，解得$m = 3$或$m=-\frac{1}{2}$（舍）。 探究 2：$a_{67}=a_{61}m^{6}=(2 + 5\times3)\times3^{6}=17\times3^{6}$。 探究 3：由探究 1，得$a_{ij}=a_{i1}\cdot3^{j - 1}=[2+(i - 1)\cdot3]\cdot3^{j - 1}=(3i - 1)\cdot3^{j - 1}$。