《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1.（1）求抛物线$f(x)=-x^{2}+x$在点$(-1,-2)$处切线的斜率；
（2）求曲线$f(x)=x-\frac{1}{x}$在点$(1,0)$处的切线方程.

答案： 解：
(1)设抛物线$f(x)$在点$(-1,-2)$处切线的斜率为$k$，则$k=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(-1+\Delta x)-f(-1)}{\Delta x}=3$。
(2)曲线$f(x)=x-\frac{1}{x}$在点$(1,0)$处的切线斜率$k=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(1+\frac{1}{1+\Delta x})=2$。 故所求切线方程为$y = 2(x - 1)$，即$2x - y - 2 = 0$。

2. 求抛物线$f(x)=x^{2}+3$在点$P(1,4)$处切线的斜率.

答案： 解：$\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\frac{(1+\Delta x)^{2}+3-(1^{2}+3)}{\Delta x}=2+\Delta x$。 所以所求切线的斜率$k=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(2+\Delta x)=2$。

3. 在抛物线$y = x^{2}$上求一点$P$，使在该点处的切线垂直于直线$2x - 6y + 5 = 0$.

答案： 解：设点$P$的坐标为$(x_{0},y_{0})$， 则抛物线$y = x^{2}$在点$P$处的切线斜率为$k=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x_{0}+\Delta x)^{2}-x_{0}^{2}}{\Delta x}=2x_{0}$。 直线$2x - 6y + 5 = 0$的斜率为$\frac{1}{3}$， 由题设知$2x_{0}\cdot\frac{1}{3}=-1$，解得$x_{0}=-\frac{3}{2}$。 此时$y_{0}=\frac{9}{4}$， 所以点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{9}{4})$。