《2025年同步练习江苏八年级数学下册苏科版》

7. 分式$\frac{x + 1}{(x - 2)(x - 1)}$与$\frac{x - 3}{(x + 6)(x - 1)}$的最简公分母是__________.

答案： $(x - 2)(x - 1)(x + 6)$

8. 先化简再求值：$(a - \frac{a^{2}}{a + b})(\frac{a}{a - b} - 1)÷\frac{b^{2}}{a + b}$，其中$a = -\frac{2}{3}$，$b = \frac{4}{3}$.

答案： $\frac{a}{a - b}, \frac{1}{3}$

9. 甲、乙两组学生从学校出发，去距学校4.5 km的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发0.5 h后，乙组学生骑自行车开始出发，骑自行车速度是步行速度的3倍，结果两组学生同时到达敬老院. 步行与骑自行车的速度各是多少?

答案： 步行的速度是 6 km/h, 骑自行车的速度是 18 km/h

10. 从具体到抽象、从特殊到一般，是我们学习和认识新事物经常运用的方法.
我们知道：$\frac{2}{3} ＜ \frac{2 + 1}{3 + 1}$，$\frac{2}{3} ＜ \frac{2 + 2}{3 + 2}$，$\frac{2}{3} ＜ \frac{2 + 3}{3 + 3}$，$\frac{2}{3} ＜ \frac{2 + 4}{3 + 4}$……
请你根据上面的材料，利用字母$a、b、c(a ＞ b ＞ 0,c ＞ 0)$归纳出一个数学关系式，并用所学知识验证.

答案： 根据所给的式子之间的关系, 可以用 $a、b、c$ 的数学关系式表示出一般的规律 $\frac{b}{a} ＜ \frac{b + c}{a + c}$. 验证: $\frac{b + c}{a + c} - \frac{b}{a} = \frac{a(b + c) - b(a + c)}{a(a + c)} = \frac{ab + ac - ba - bc}{a(a + c)} = \frac{c(a - b)}{a(a + c)}$. 因为 $a ＞ b ＞ 0, c ＞ 0$, 所以 $\frac{c(a - b)}{a(a + c)} ＞ 0$. 所以 $\frac{b}{a} ＜ \frac{b + c}{a + c}$

11. 对$x、y$定义一种新运算$T$，规定：$T(x,y)=\frac{ax + by}{2x + y}$(其中$a、b$均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：$T(0,1)=\frac{a×0 + b×1}{2×0 + 1}=b$.
(1) 已知$T(1,-1)= -2$，$T(4,2)=1$.
① 求$a、b$的值；
② 若关于$m$的不等式组$\begin{cases}T(2m,5 - 4m)\leq4 \\ T(m,3 - 2m) ＞ p\end{cases}$恰好有3个整数解，求实数$p$的取值范围.
(2) 若$T(x,y)=T(y,x)$对任意实数$x、y$都成立(这里$T(x,y)$和$T(y,x)$均有意义)，则$a、b$应满足怎样的关系式?

答案：
(1) ① $T(1, -1) = \frac{a - b}{2 - 1} = -2$, 即 $a - b = -2$; $T(4, 2) = \frac{4a + 2b}{8 + 2} = 1$, 即 $2a + b = 5$, 解得: $a = 1, b = 3$; ② 根据题意得: $\begin{cases} \frac{2m + 3(5 - 4m)}{4m + 5 - 4m} \leq 4 & ① \\ \frac{m + 3(3 - 2m)}{2m + 3 - 2m} ＞ p & ② \end{cases}$, 由 ① 得: $m \geq -\frac{1}{2}$; 由 ② 得: $m ＜ \frac{9 - 3p}{5}$, $\because$ 不等式组恰好有 3 个整数解, 即 $m = 0, 1, 2$, $\therefore$ 不等式组的解集为 $-\frac{1}{2} \leq m ＜ \frac{9 - 3p}{5}$, $\therefore 2 ＜ \frac{9 - 3p}{5} \leq 3$, 解得: $-2 \leq p ＜ -\frac{1}{3}$;
(2) 由 $T(x, y) = T(y, x)$, 得到 $\frac{ax + by}{2x + y} = \frac{ay + bx}{2y + x}$, 整理得: $(y^2 - x^2)(2b - a) = 0$, $\because T(x, y) = T(y, x)$ 对任意实数 $x, y$ 都成立, $\therefore 2b - a = 0$, 即 $a = 2b$