《2025年同步练习江苏八年级数学下册苏科版》

7. 若$x ＜ 2$，则$\sqrt{(x - 2)^2} + |3 - x| =$________.

答案： $5 - 2x$

8. $x$的取值范围是________时，二次根式$\sqrt{\frac{1}{x}}$有意义.

答案： $x＞0$

9. 已知$\sqrt{a - 1} + b^2 - 4b + 4 = 0$，则$\sqrt{\frac{a}{b}} =$________.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

10. 计算：$(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 =$________.

答案： $-\sqrt{2}-\sqrt{3}$

11. 先化简，再求值：$\frac{1}{x - y} \div (\frac{1}{y} - \frac{1}{x})$，其中$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.

答案： 化简，得$\frac{xy}{(x - y)^2}$，代入求值得$\frac{1}{8}$

12. 已知$0 ＜ a ＜ b$，$x = \sqrt{a + b} - \sqrt{b}$，$y = \sqrt{b} - \sqrt{b - a}$，则$x、y$的大小关系是( ).
A. $x ＞ y$
B. $x = y$
C. $x ＜ y$
D. 与$a、b$的取值有关

答案： C. 提示：由题意可得$x、y$为正数，$x\cdot(\sqrt{a + b}+\sqrt{b})=a + b - b = a$，$y\cdot(\sqrt{b}+\sqrt{b - a})=b-(b - a)=a$. 即$x\cdot(\sqrt{a + b}+\sqrt{b})=y\cdot(\sqrt{b}+\sqrt{b - a})$. 又因为$\sqrt{a + b}+\sqrt{b}＞\sqrt{b}+\sqrt{b - a}＞0$，所以$x＜y$

13. 阅读下列文字，并解决问题.
在数学问题中，常需要对形如$\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$的式子化简. 若能找到两个数$m、n$，使$m^2 + n^2 = a$，且$mn = \sqrt{b}$，则可将$a \pm 2\sqrt{b}$化为$m^2 + n^2 \pm 2mn$，即化为$(m \pm n)^2$，从而使得$\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$化简. 例如，$5 \pm 2\sqrt{6} = 3 + 2 \pm 2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 \pm 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3} \pm \sqrt{2})^2$，所以$\sqrt{5 \pm 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} \pm \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} \pm \sqrt{2}$. 这种方法叫做配方法. 换一种思路，假设化简的结果是$\sqrt{x} \pm \sqrt{y}(x ＞ y ＞ 0)$，可知$5 \pm 2\sqrt{6} = (\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2$. 整理，得$5 \pm 2\sqrt{6} = x + y \pm 2\sqrt{xy}$，比较等式两边，可得$x + y = 5$，$xy = 6$，即$x = 3$，$y = 2$. 所以$\sqrt{5 \pm 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} \pm \sqrt{2}$.
根据以上方法，尝试化简下列各式：
(1) $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$；
(2) $\sqrt{8 - \sqrt{60}}$.

答案：
(1) $2+\sqrt{3}$；
(2) $\sqrt{5}-\sqrt{3}$