《2025年同步练习江苏八年级数学下册苏科版》

7. 若关于$x$的分式方程$\frac{2(x - a)}{a(x - 1)} = - \frac{2}{5}$的解为$x = 3$，则常数$a =$________.

答案： 5

8. 把分式方程$\frac{2}{x} - \frac{x}{x + 1} = 1$化为整式方程，下列结果正确的是( ).
A. $2(x + 1) - x^{2} = 1$
B. $2(x + 1) + x^{2} = 1$
C. $2(x + 1) - x^{2} = x(x + 1)$
D. $2x - (x + 1)^{2} = x(x + 1)$

答案： C

9. 解下列方程：
(1)$\frac{4}{x + 2} = 2$； (2)$\frac{4}{x - 3} = \frac{4 - x}{x - 3} - 2$；
(3)$\frac{1}{1 - y^{2}} = \frac{3}{1 - y} - \frac{5}{1 + y}$； (4)$\frac{7}{x^{2} + x} + \frac{1}{x^{2} - x} = \frac{6}{x^{2} - 1}$.

答案：
(1) 原方程的解为 $x = 0$；
(2) 原方程的解为 $x = 2$；
(3) 原方程的解为 $y = \frac{3}{8}$；
(4) 原方程的解为 $x = 3$

10. 阅读并完成下列问题.
通过观察发现：方程$x + \frac{1}{x} = 2 + \frac{1}{2}$的解是$x_{1} = 2$，$x_{2} = \frac{1}{2}$；$x + \frac{1}{x} = 3 + \frac{1}{3}$的解是$x_{1} = 3$，$x_{2} = \frac{1}{3}$.
(1) 观察上述方程的解，可以猜想关于$x$的方程$x + \frac{1}{x} = c + \frac{1}{c}$的解是________；
(2) 把关于$x$的方程$x + \frac{1}{x - 1} = a + \frac{1}{a - 1}$变形为方程$y + \frac{1}{y} = c + \frac{1}{c}$的形式（$y$是含$x$的代数式，$c$是含$a$的代数式）是________________，方程的解是________.

答案：
(1) $x_1 = c,x_2 = \frac{1}{c}$；
(2) $x - 1 + \frac{1}{x - 1} = a - 1 + \frac{1}{a - 1},x_1 = a,x_2 = \frac{a}{a - 1}$

11. 观察下列等式：
①$a_{1} = \frac{3}{1\times2\times2^{2}} = \frac{1}{1\times2} - \frac{1}{2\times2^{2}}$；
②$a_{2} = \frac{4}{2\times3\times2^{3}} = \frac{1}{2\times2^{2}} - \frac{1}{3\times2^{3}}$；
③$a_{3} = \frac{5}{3\times4\times2^{4}} = \frac{1}{3\times2^{3}} - \frac{1}{4\times2^{4}}$；
④$a_{4} = \frac{6}{4\times5\times2^{5}} = \frac{1}{4\times2^{4}} - \frac{1}{5\times2^{5}}$.
按上述规律，回答以下问题：
(1) 用含$n$（$n$为正整数）的代数式表示第$n$个等式：______________________________；
(2)$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{20} =$______________________________.

答案：
(1) $a_n = \frac{n + 2}{n(n + 1)\cdot2^{n + 1}} = \frac{1}{n\cdot2^n} - \frac{1}{(n + 1)\cdot2^{n + 1}}$；
(2) $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{20} = \frac{1}{2} - \frac{1}{21\times2^{21}}$