《2025年初中必刷题七年级数学下册苏科版》

1[2024江苏扬州质检，中]已知$3^{a}=2$，$3^{b}=6$，$3^{c}=18$，则$b^{2}-ac$的值为 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6

答案： A 【解析】因为$3^{a}=2$，$3^{b}=6$，$3^{c}=18$，所以$3^{c}\div3^{b}=3^{c - b}=18\div6 = 3$，所以$c - b = 1$，则$b - c = - 1$. 因为$3^{b^{2}-ac}=3^{b^{2}}\div3^{ac}=(3^{b})^{b}\div(3^{a})^{c}=6^{b}\div2^{c}=(2\times3)^{b}\div2^{c}=2^{b}\times3^{b}\div2^{c}=2^{b - c}\times6 = 2^{-1}\times6 = 3$，所以$3^{b^{2}-ac}=3^{1}$，所以$b^{2}-ac = 1$. 故选 A.

2[中]我们知道：$2^{1}=2$，$2^{2}=4$，$\cdots$，$2^{10}=1024$，那么$2^{-30}$接近于 （ ）
A. $10^{-10}$
B. $10^{-9}$
C. $10^{-8}$
D. $10^{-7}$

答案： B 【解析】因为$2^{10}=1024$，$1024\approx10^{3}$，所以$2^{30}=(2^{10})^{3}\approx(10^{3})^{3}=10^{9}$，所以$2^{-30}=\frac{1}{2^{30}}\approx\frac{1}{10^{9}}=10^{-9}$. 故选 B.

3新考法[2024浙江诸暨期末，较难]如图，一质点$P$从距原点8个单位的$M$点处向原点方向跳动，第一次跳动到$OM$的中点$M_{1}$处，第二次从$M_{1}$跳到$OM_{1}$的中点$M_{2}$处，第三次从点$M_{2}$跳到$OM_{2}$的中点$M_{3}$处，如此不断跳动下去，则第2021次跳动后，该质点到原点$O$的距离为 （ ）
0M3M2M|
A. $2^{-2018}$
B. $2^{-2019}$
C. $2^{-2020}$
D. $2^{-2021}$

答案： A 【解析】由题意可得，$OM = 8$，质点$P$从$M$点处向原点方向跳动，第一次跳动到$OM$的中点$M_{1}$处，此时质点到原点$O$的距离为$8\times\frac{1}{2}=2^{3 - 1}$，第二次从$M_{1}$跳到$OM_{1}$的中点$M_{2}$处，此时质点到原点$O$的距离为$8\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=8\times(\frac{1}{2})^{2}=2^{3 - 2}$，第三次从点$M_{2}$跳到$OM_{2}$的中点$M_{3}$处，此时质点到原点$O$的距离为$8\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=8\times(\frac{1}{2})^{3}=2^{3 - 3}$，$\cdots$，所以第$n$次从点$M_{n - 1}$跳到$OM_{n - 1}$的中点$M_{n}$处，此时质点到原点$O$的距离为$8\times(\frac{1}{2})^{n}=2^{3 - n}$，所以第 2021 次跳动后，该质点到原点$O$的距离为$2^{3 - 2021}=2^{-2018}$，故选 A.

4[2024江苏泰州调研，中]已知$a - 2b - 3c = 2$，则$2^{a}\div 4^{b}\times(\frac{1}{8})^{c}$的值是________.

答案： 4 【解析】原式$=2^{a}\div2^{2b}\times2^{-3c}=2^{a - 2b - 3c}=2^{2}=4$. 故答案为 4.

5[2024河南郑州期中，中]已知$a^{b}=2$，$a^{c}=4$，$a^{k}=32(a \neq 0,1)$，则$k - 3b - c$的值为________.

答案： 0 【解析】因为$a^{b}=2$，$a^{c}=4$，$a^{k}=32(a\neq0,1)$，所以$a^{k - 3b - c}=a^{k-(3b + c)}=a^{k}\div(a^{b})^{3}a^{c}=32\div(2^{3}\times4)=32\div32 = 1$，所以$k - 3b - c = 0$. 故答案为 0.

6[2024安徽合肥模拟，较难]已知实数$a$，$b$，定义运算：$a*b = \begin{cases}a^{b}(a ＞ b且a \neq 0),\\a^{-b}(a \leq b且a \neq 0),\end{cases}$若$(a - 2)*(a + 1)=1$，则$a =$________.

答案： 3 或 1 或 -1 【解析】因为$a + 1＞a - 2$，所以$(a - 2)*(a + 1)=(a - 2)^{-a - 1}=1$，则$a$的取值有以下三种情况：①$a - 2 = 1$，解得$a = 3$；②$a - 2 = - 1$，且$-a - 1$为偶数，解得$a = 1$；③$-a - 1 = 0$，且$a - 2\neq0$，解得$a = - 1$. 故答案为 3 或 1 或 -1.

7[2024江苏南京期中，较难]阅读材料：求$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{2013}$的值.
设$S = 1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{2012}+2^{2013}$，将等式两边同时乘2，得
$2S = 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+\cdots+2^{2013}+2^{2014}$，
$2S - S = 2^{2014}-1$，
即$S = 2^{2014}-1$，
即$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{2013}=2^{2014}-1$.
请你仿照上述方法，计算$1 + 2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+2^{-5}+2^{-6}=$________.

答案： $2 - 2^{-6}$ 【解析】设$S = 1 + 2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+2^{-5}+2^{-6}$，将等式两边同时乘$\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{2}S = 2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+2^{-5}+2^{-6}+2^{-7}$，$\frac{1}{2}S - S = -\frac{1}{2}S = 2^{-7}-1$，解得$S = 2 - 2^{-6}$，即$1 + 2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+2^{-5}+2^{-6}=2 - 2^{-6}$. 故答案为$2 - 2^{-6}$.
关键点拨：
(1) 本题考查负整数指数幂，熟知任何不等于 0 的数的$-n$（$n$是正整数）次幂，等于这个数的$n$次幂的倒数是解题的关键.

8[2024江苏宿迁质检，中]如果$10^{b}=n$，那么$b$为$n$的“劳格数”，记为$b = d(n)$.
（1）根据“劳格数”的定义计算：$d(10)=$________，$d(\frac{1}{100})=$________.
（2）“劳格数”有如下运算性质：若$m$，$n$为正数，则$d(mn)=d(m)+d(n)$，$d(\frac{m}{n})=d(m)-d(n)$.
根据运算性质计算：$\frac{d(a^{3})}{d(a)}=$________（$a$为正数）.
（3）若$d(2)=0.3010$，则分别计算$d(4)$，$d(5)$的值.

答案： 【解】
(1) 因为$10^{1}=10$，所以$d(10)=1$. 因为$\frac{1}{100}=10^{-2}$，所以$d(\frac{1}{100})=-2$. 故答案为 1，-2.
(2)$d(a^{3})=d(a\cdot a\cdot a)=d(a)+d(a)+d(a)=3d(a)$，所以$\frac{d(a^{3})}{d(a)}=\frac{3d(a)}{d(a)}=3$. 故答案为 3.
(3) 因为$d(2)=0.3010$，所以$d(4)=d(2\times2)=2d(2)=0.6020$，$d(5)=d(\frac{10}{2})=d(10)-d(2)=1 - 0.3010 = 0.6990$.

9核心素养·推理能力[中]比较$2021^{-2022}$与$2022^{-2021}$的大小，我们可以采用“从特殊到一般”的思想方法：
（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”“＜”或“=”）
①$1^{-2}$________$2^{-1}$；②$2^{-3}$________$3^{-2}$；③$3^{-4}$________$4^{-3}$；④$4^{-5}$________$5^{-4}$.
（2）由（1）可以猜测$n^{-(n + 1)}$与$(n + 1)^{-n}$（$n$为正整数）的大小关系：当$n$________时，$n^{-(n + 1)}＞(n + 1)^{-n}$；当$n$________时，$n^{-(n + 1)}＜(n + 1)^{-n}$.
（3）根据上面的猜想，则有$2021^{-2022}$________$2022^{-2021}$（填“＞”“＜”或“=”）.

答案：
(1) ①＞ ②＞ ③＜ ④＜
(2)$\leq2$ ＞2
(3)＜ 【解析】
(1) ①因为$1^{-2}=\frac{1}{1^{2}}=1$，$2^{-1}=\frac{1}{2}$，所以$1^{-2}＞2^{-1}$. 故答案为＞. ②因为$2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}$，$3^{-2}=\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{9}$，所以$2^{-3}＞3^{-2}$. 故答案为＞. ③因为$3^{-4}=\frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{81}$，$4^{-3}=\frac{1}{4^{3}}=\frac{1}{64}$，所以$3^{-4}＜4^{-3}$. 故答案为＜. ④因为$4^{-5}=\frac{1}{4^{5}}=\frac{1}{1024}$，$5^{-4}=\frac{1}{5^{4}}=\frac{1}{625}$，所以$4^{-5}＜5^{-4}$. 故答案为＜.
(2) 由
(1) 可以猜测$n$为正整数时，当$n\leq2$时，$n^{-(n + 1)}＞(n + 1)^{-n}$；当$n＞2$时，$n^{-(n + 1)}＜(n + 1)^{-n}$. 故答案为$\leq2$，＞2.
(3) 由
(2) 得$n = 2021＞2$，则$2021^{-2022}＜2022^{-2021}$. 故答案为＜.
关键点拨：1 的任何次幂都等于 1，-1 的偶数次幂等于 1，非零数的零指数幂等于 1.
刷有所得：用科学记数法表示绝对值小于 1 的数，一般形式为$a\times10^{-n}$，其中$1\leq|a|＜10$，$n$为正整数.