《2025年初中必刷题七年级数学下册苏科版》

1[中]若$ax^{2}+2x+\frac{a}{8}=(2x+\frac{1}{2})^{2}+m$，则$a,m$的值分别是（ ）
A. 2,0
B. 2,$\frac{1}{4}$
C. 4,$\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{4}$,4

答案： C 【解析】由$ax^{2}+2x+\frac{a}{8}=(2x+\frac{1}{2})^{2}+m = 4x^{2}+2x+\frac{1}{4}+m$，得$a = 4$，且$\frac{a}{8}=\frac{1}{4}+m$，则$m=\frac{1}{4}$。

2[2024江苏常州期中，中]已知$(2024 - x)(x - 2023)= - 2$，则$(2024 - x)^{2}+(x - 2023)^{2}$的值是（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4

答案： C 【解析】因为$(2024 - x)(x - 2023)= - 2$，$2024 - x + x - 2023 = 1$，所以$(2024 - x)^{2}+(x - 2023)^{2}=[(2024 - x)+(x - 2023)]^{2}-2(2024 - x)(x - 2023)=1 - 2\times(-2)=1 + 4 = 5$。故选 C。

3[2024江苏镇江期中，较难]如图，若一个长方形广场的长为18米，宽为10米，现因施工改造，将广场的长和宽各增加$x$米，广场面积增加了20平方米，同时沿长方形广场的四边分别向外修建半圆形花圃.请你计算出花圃的总面积为（ ）
　　　　　　　　　　　
A. 90π平方米
B. 116π平方米
C. 120π平方米
D. 128π平方米

答案： B 【解析】设扩大后的长方形广场的长为$a=(18 + x)$米，宽为$b=(10 + x)$米。依题意，得$ab = 18\times10 + 20 = 200$，$a - b=(18 + x)-(10 + x)=8$，所以$a^{2}+b^{2}=(a - b)^{2}+2ab = 8^{2}+2\times200 = 464$，所以花圃的总面积为$(\frac{a}{2})^{2}\pi+(\frac{b}{2})^{2}\pi=\frac{(a^{2}+b^{2})}{4}\pi=\frac{464}{4}\pi = 116\pi$（平方米）。故选 B。

4[中]已知$x = - 2,y = \frac{1}{2}$，则$(x + 2y)^{2}-(x + y)(x - y)$的值为_______.

答案： $-\frac{11}{4}$【解析】原式$=x^{2}+4xy + 4y^{2}-(x^{2}-y^{2})=x^{2}+4xy + 4y^{2}-x^{2}+y^{2}=5y^{2}+4xy$。当$x = - 2$，$y=\frac{1}{2}$时，原式$=5\times\frac{1}{4}-4=-\frac{11}{4}$。

5[中]若$(2a + b)^{2}=17,(a - 2b)^{2}=8$，则$3a^{2}+3b^{2}$的值为_______.

答案： 15 【解析】由$(2a + b)^{2}=4a^{2}+4ab + b^{2}$，$(a - 2b)^{2}=a^{2}-4ab + 4b^{2}$，得$(2a + b)^{2}+(a - 2b)^{2}=5a^{2}+5b^{2}=25$，则$a^{2}+b^{2}=5$，所以$3(a^{2}+b^{2})=3a^{2}+3b^{2}=15$。

6[2023江苏镇江期中，中]若关于$x$的多项式$4x^{2}+(m - 1)x + 9$是完全平方式，则$m$的值为_______.

答案： 13 或 - 11 【解析】因为关于$x$的多项式$4x^{2}+(m - 1)x + 9$是完全平方式，所以$(m - 1)x=\pm2\times3\times2x$。当$(m - 1)x = 2\times3\times2x = 12x$时，$m = 13$；当$(m - 1)x=-2\times3\times2x=-12x$时，$m = - 11$。综上所述，$m$的值为 13 或 - 11。

7[2024四川成都质检，中]计算：$\frac{2013×2014 - 1}{2013 + 2012×2014}$.

答案： 【解】$\frac{2013\times2014 - 1}{2013 + 2012\times2014}$
$=\frac{2013\times(2013 + 1)-1}{2013+(2013 - 1)(2013 + 1)}$
$=\frac{2013^{2}+2013 - 1}{2013 + 2013^{2}-1}$
$=\frac{2013^{2}+2012}{2013^{2}+2012}=1$。

8[2024江苏南京期末，中]先化简，再求值：$(2x - y)^{2}-(x - y)(x + y)-2y^{2}$，其中$x = 2,y = - 3$.

答案： 【解】$(2x - y)^{2}-(x - y)(x + y)-2y^{2}=4x^{2}-4xy + y^{2}-x^{2}+y^{2}-2y^{2}=3x^{2}-4xy$。
当$x = 2$，$y = - 3$时，原式$=3\times2^{2}-4\times2\times(-3)=36$。

9核心素养模型思想[较难]对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如，由图(1)可以得到$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，请解答下列问题：
(1)写出图(2)所表示的数学等式.
　　　　　　　 　　 图(2)
(2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若$a + b + c = 10,ab + ac + bc = 35$，则$a^{2}+b^{2}+c^{2}=$________.
(3)小明同学用图(3)中$x$张边长为$a$的正方形纸片、$y$张边长为$b$的正方形纸片和$z$张边长分别为$a,b$的长方形纸片拼出一个面积为$(5a + 7b)(9a + 4b)$的长方形，则$x + y + z=$_______.
　　　　　　　　　

答案： 【解】
(1) 题图
(2)中图形的面积既可以表示为$(a + b + c)^{2}$，又可以表示为$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$，所以$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$。
(2)$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a + b + c)^{2}-2ab - 2ac - 2bc = 10^{2}-2(ab + ac + bc)=100 - 2\times35 = 30$。
故答案为 30。
(3) 由题意可知，所拼图形的面积为$xa^{2}+yb^{2}+zab$。
因为$(5a + 7b)(9a + 4b)=45a^{2}+20ab + 63ab + 28b^{2}=45a^{2}+28b^{2}+83ab$，
所以$x = 45$，$y = 28$，$z = 83$，
所以$x + y + z=45 + 28 + 83 = 156$。
故答案为 156。