《2025年初中必刷题七年级数学下册苏科版》

12[2024江苏南京期中]我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的关联，请解决以下问题：
（1）阅读理解：解不等式$(x + 1)(x - 3) ＞ 0$.
根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为$\begin{cases}x + 1 ＞ 0, \\ x - 3 ＞ 0\end{cases}$或$\begin{cases}x + 1 ＜ 0, \\ x - 3 ＜ 0\end{cases}$，
解不等式组$\begin{cases}x + 1 ＞ 0, \\ x - 3 ＞ 0\end{cases}$得$x ＞ 3$；解不等式组$\begin{cases}x + 1 ＜ 0, \\ x - 3 ＜ 0\end{cases}$得$x ＜ -1$，
所以原不等式的解集为$x ＞ 3$或$x ＜ -1$.
问题解决：根据以上材料，解不等式$(x - 5)(x + 6) ＜ 0$.
（2）已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x - 2y = m, \\ 2x + 3y = 2m + 4\end{cases}$的解满足不等式组$\begin{cases}3x + y \leq 0, \\ x + 5y ＞ 0\end{cases}$，求满足条件的$m$的整数值.

答案： 【解】
(1)根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为$\begin{cases}x - 5＞0 \\ x + 6＜0\end{cases}$或$\begin{cases}x - 5＜0 \\ x + 6＞0\end{cases}$.
解不等式组$\begin{cases}x - 5＞0 \\ x + 6＜0\end{cases}$，不等式组无解；
解不等式组$\begin{cases}x - 5＜0 \\ x + 6＞0\end{cases}$，解得 - 6＜x＜5，所以原不等式的解集为 - 6＜x＜5.
(2)$\begin{cases}x - 2y = m,① \\ 2x + 3y = 2m + 4,②\end{cases}$①×2 - ②，得 - 7y = - 4，解得y = $\frac{4}{7}$，
将y = $\frac{4}{7}$代入①，得x = m+$\frac{8}{7}$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = m+\frac{8}{7} \\ y = \frac{4}{7}\end{cases}$.
因为$\begin{cases}3x + y≤0 \\ x + 5y＞0\end{cases}$，所以$\begin{cases}3(m+\frac{8}{7})+\frac{4}{7}≤0 \\ m+\frac{8}{7}+\frac{20}{7}＞0\end{cases}$，
解不等式组，得 - 4＜m≤ - $\frac{4}{3}$，所以m可取的整数值为 - 3， - 2.

13[2024陕西咸阳期中]某学校计划购买20个书柜和一批书架，已知A，B两家超市相同商品的标价相同，书柜每个210元，书架每个70元. A超市的优惠活动为每买一个书柜赠送一个书架，B超市的优惠活动为所有商品按标价的8折出售. 设该学校购买$x(x ＞ 20)$个书架.
（1）若该学校到同一家超市购买所有物品，则到A超市要花费________元，到B超市要花费________元（用含$x$的式子表示）；
（2）若规定只能到其中一个超市购买所有物品，则该学校到哪家超市购买比较划算？

答案： 【解】
(1)已知该学校购买x(x＞20)个书架.
根据题意得，到A超市要花费20×210+70(x - 20)=(70x + 2800)元；
到B超市要花费(20×210 + 70x)×0.8=(56x + 3360)元.
故答案为(70x + 2800)，(56x + 3360).
(2)当A超市的费用等于B超市的费用时，70x + 2800 = 56x + 3360，解得x = 40；
当A超市的费用大于B超市的费用时，70x + 2800＞56x + 3360，解得x＞40；
当A超市的费用小于B超市的费用时，70x + 2800＜56x + 3360，解得x＜40.
故当x＞40时，到B超市购买比较划算；当x = 40时，两家超市费用一样；当20＜x＜40时，到A超市购买比较划算.

14[2023江苏南京鼓楼区期末]阅读理解：定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”. 例如：$2x - 1 = 3$的解为$x = 2$，$\begin{cases}2x - 3 ＜ 9 - x, \\ 5x + 5 \geq 2x - 4\end{cases}$的解集为$-3 \leq x ＜ 4$，不难发现$x = 2$在$-3 \leq x ＜ 4$的范围内，所以$2x - 1 = 3$是$\begin{cases}2x - 3 ＜ 9 - x, \\ 5x + 5 \geq 2x - 4\end{cases}$的“子方程”.
问题解决：（1）在方程①$3x - 1 = 0$，②$\frac{2}{3}x - 1 = 0$，③$2x + 3(x + 2)=21$中，不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＞ x + 1, \\ 3(x - 2)-x \leq 4\end{cases}$的“子方程”是________；（填序号）
（2）若关于$x$的方程$2x - k = 2$是不等式组$\begin{cases}3x - 6 ＞ 4 - x, \\ x - 1 \geq 4x - 10\end{cases}$的“子方程”，求$k$的取值范围；
（3）若方程$2x + 4 = 0$，$\frac{2x - 1}{3} = -1$都是关于$x$的不等式组$\begin{cases}(m - 2)x ＜ m - 2, \\ x + 5 \geq m\end{cases}$的“子方程”，直接写出$m$的取值范围.

答案： 【解】
(1)解方程3x - 1 = 0得x = $\frac{1}{3}$，
解方程$\frac{2}{3}$x - 1 = 0得x = $\frac{3}{2}$，
解方程2x + 3(x + 2)=21得x = 3，
解不等式组$\begin{cases}2x - 1＞x + 1 \\ 3(x - 2)-x≤4\end{cases}$，得2＜x≤5，
所以不等式组$\begin{cases}2x - 1＞x + 1 \\ 3(x - 2)-x≤4\end{cases}$的“子方程”是③. 故答案为③.
(2)解不等式3x - 6＞4 - x，得x＞$\frac{5}{2}$，
解不等式x - 1≥4x - 10，得x≤3，
则不等式组的解集为$\frac{5}{2}$＜x≤3.
解2x - k = 2得x = $\frac{k + 2}{2}$，
所以$\frac{5}{2}$＜$\frac{k + 2}{2}$≤3，解得3＜k≤4.