《2025年初中必刷题七年级数学下册苏科版》

1[2024江苏宿迁调研，中]如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个人球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），则该球最后落入的球袋是（ ）

A. 1号袋
B. 2号袋
C. 3号袋
D. 4号袋

答案：
D【解析】如图所示，该球最后落入的球袋是 4 号袋. 故选 D.

2[2024江苏扬州江都区期末，中]如图，将△ABC沿DE折叠，得到△A'DE，A'E，A'D与边BC分别相交于点M，N，若∠1 + ∠2 = 150°，则∠3 + ∠4的度数为（ ）

A. 250°
B. 255°
C. 260°
D. 265°

答案： B【解析】由折叠得$\angle ADE = \angle A'DE$，$\angle AED = \angle A'ED$，所以$\angle 1 = 180^{\circ} - 2\angle AED$，$\angle 2 = 180^{\circ} - 2\angle ADE$，所以$\angle 1 + \angle 2 = 360^{\circ} - 2(\angle AED + \angle ADE) = 360^{\circ} - 2(180^{\circ} - \angle A) = 2\angle A$. 因为$\angle 1 + \angle 2 = 150^{\circ}$，所以$\angle A = 75^{\circ}$，所以$\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A = 105^{\circ}$. 因为$\angle 3 = 180^{\circ} - \angle CME = \angle 1 + \angle C$，$\angle 4 = 180^{\circ} - \angle BND = \angle 2 + \angle B$，所以$\angle 3 + \angle 4 = \angle 1 + \angle 2 + \angle B + \angle C = 150^{\circ} + 105^{\circ} = 255^{\circ}$，故选 B.

3[中]如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 6，AC = 8，AB = 10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为P₁，P₂，则在点P的运动过程中，线段P₁P₂的长的最小值是________.

答案：
9.6
思路分析 利用轴对称的性质解决最值问题
连接$CP$，点$P$关于直线$AC$，$BC$对称的点分别为$P_1$，$P_2$
$CP_1 = CP = CP_2$；$P_1$，$C$，$P_2$三点共线
$P_1P_2 = 2CP$，求$CP$的最小值
由垂线段最短，转化为求$AB$边上的高
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot CP = \frac{1}{2}AC \cdot BC$，且$AB = 10$，$AC = 8$，$BC = 6$
【解析】连接$CP$.
因为点$P$关于直线$AC$，$BC$对称的点分别为$P_1$，$P_2$，所以$P_1C = PC = P_2C$，$\angle P_1CA = \angle PCA$，$\angle P_2CB = \angle PCB$，所以$\angle P_1CP_2 = 2\angle ACB = 180^{\circ}$，所以$P_1$，$C$，$P_2$三点共线，所以$P_1P_2 = 2CP$. 如图所示，当$CP \perp AB$时，$CP$的长最小，此时线段$P_1P_2$的长最小. 因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC = 6$，$AC = 8$，$AB = 10$，所以$CP = \frac{AC \times BC}{AB} = 4.8$，所以线段$P_1P_2$的长的最小值是 9.6.

4[2023湖北广水校级期中，中]（1）如图（1），P，Q分别是△ABC的边AB，AC上的两个定点，在边BC上找一点R，使△PQR的周长最小.
（2）如图（2），已知P是∠AOB内任意一点，分别在OA，OB上找点M，N，使△PMN的周长最小.

答案：
【解】
(1)如图
(1)，点$R$即为所求. 作点$P$关于直线$BC$的对称点$P'$，连接$P'Q$交$BC$于$R$，此时$\triangle PQR$的周长最小.

(2)如图
(2)，点$M$，$N$即为所求. 作$P$关于$OA$，$OB$的对称点$E$，$F$，连接$EF$交$OA$于$M$，交$OB$于$N$，此时$\triangle PMN$周长最小.

5[核心素养·几何直观][2024浙江绍兴嵊州期末，较难]如果两角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“等差角”，即若|∠α - ∠β| = 60°，则称∠α和∠β互为“等差角”.（本题中所有角都是指大于0°，且小于180°的角）
（1）已知∠1和∠2互为“等差角”，若∠1 = 40°，则∠2 = ________；若∠1 = 90°，则∠2 = ________.
（2）如图（1），将一长方形纸片沿着EP翻折（点P在线段BC上，点E在线段AB上），点B落在点B'处. 若∠EPB'与∠B'PC互为“等差角”，求∠BPE的度数.
（3）再将纸片沿着FP翻折（点F在线段CD或AD上），点C落在点C'处. 如图（2），若点E，C'，P在同一直线上，且∠B'PC'与∠EPF互为“等差角”，求∠EPF的度数（翻折后，线段PB'在∠EPF内部）.

答案： 【解】
(1)因为$\angle 1$和$\angle 2$互为“等差角”，$\angle 1 = 40^{\circ}$，所以$|40^{\circ} - \angle 2| = 60^{\circ}$，所以$40^{\circ} - \angle 2 = 60^{\circ}$或$40^{\circ} - \angle 2 = -60^{\circ}$，解得$\angle 2 = -20^{\circ}$（舍去）或$100^{\circ}$.
因为$\angle 1$和$\angle 2$互为“等差角”，$\angle 1 = 90^{\circ}$，所以$|90^{\circ} - \angle 2| = 60^{\circ}$，所以$90^{\circ} - \angle 2 = 60^{\circ}$或$90^{\circ} - \angle 2 = -60^{\circ}$，解得$\angle 2 = 30^{\circ}$或$150^{\circ}$. 故答案为$100^{\circ}$，$30^{\circ}$或$150^{\circ}$.
(2)因为$\angle EPB'$与$\angle B'PC$互为“等差角”，所以当$\angle EPB' ＜ \angle B'PC$时，$\angle B'PC - \angle EPB' = 60^{\circ}$，所以$\angle B'PC = \angle EPB' + 60^{\circ}$.
因为$\triangle BEP$翻折得$\triangle B'EP$，所以$\angle EPB = \angle EPB'$. 因为$\angle EPB + \angle EPB' + \angle B'PC = 180^{\circ}$，所以$\angle EPB' + \angle EPB' + \angle EPB' + 60^{\circ} = 180^{\circ}$，解得$\angle EPB' = 40^{\circ}$. 当$\angle EPB' ＞ \angle B'PC$时，$\angle EPB' - \angle B'PC = 60^{\circ}$，同理可得$\angle EPB' = 80^{\circ}$.
综上所述，$\angle EPB$的度数为$40^{\circ}$或$80^{\circ}$.
(3)因为点$E$，$C'$，$P$在同一直线上，且$\angle B'PC'$与$\angle EPF$互为“等差角”，$\angle B'PC' ＜ \angle EPF$，所以$\angle EPF - \angle B'PC' = 60^{\circ}$，所以$\angle BPE = \angle B'PE = \angle EPF - 60^{\circ}$.
因为$\angle FPC = \angle EPF$，$\angle BPE + \angle EPF + \angle FPC = 180^{\circ}$，所以$\angle EPF - 60^{\circ} + \angle EPF + \angle EPF = 180^{\circ}$，所以$\angle EPF = 80^{\circ}$.
关键点拨
掌握轴对称的性质及两点之间线段最短是解题的关键.
归纳总结
本题考查旋转的相关知识：
(1)旋转前后的两个图形对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变.
(2)旋转的三要素：①定点——旋转中心；②旋转方向；③旋转角. 判断能否构成旋转，关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角.