《2025年初中必刷题七年级数学下册苏科版》

一、选择题（共24分）
1 下列是二元一次方程的是 （ ）
A. 3x + 4 = 9
B. $\frac{1}{x}+\frac{2}{3y}=2$
C. $x^2 + y = 0$
D. 6x + y = 2

答案： D【解析】$3x + 4 = 9$是一元一次方程，故A选项不符合题意；$\frac{1}{x} + \frac{2}{3y} = 2$中分母里含未知数，不是二元一次方程，故B选项不符合题意；$x^2 + y = 0$中未知数$x$的次数是2，故C选项不符合题意；$6x + y = 2$是二元一次方程，故D选项符合题意。
易错警示：切记不要忽略$m + 2n\neq0$这一条件。
思路分析：
(1)将$x = 1$，$y = \frac{1}{3}$代入方程组检验；
(2)将$m = -2$代入方程组求出方程组的解；
(3)消去字母$m$，再整理可得$x$与$y$的关系；
(4)用含$y$的式子表示出$x$，再利用非负数的性质可得最小值。

2[2023江苏镇江丹徒区期末]$\begin{cases}x = 5,\\y = 3\end{cases}$是下面哪个二元一次方程的解 （ ）
A. y = -x + 2
B. x - 2y = 1
C. x = y - 2
D. 2x - 3y = 1

答案： D【解析】把$x = 5$代入$y = -x + 2$，得$y = -5 + 2 = -3$，所以$\begin{cases}x = 5\\y = 3\end{cases}$不是二元一次方程$y = -x + 2$的解，故A选项不符合题意；把$x = 5$代入$x - 2y = 1$，得$y = 2$，所以$\begin{cases}x = 5\\y = 3\end{cases}$不是二元一次方程$x - 2y = 1$的解，故B选项不符合题意；把$x = 5$代入$x = y - 2$，得$y = 7$，所以$\begin{cases}x = 5\\y = 3\end{cases}$不是二元一次方程$x = y - 2$的解，故C选项不符合题意；把$x = 5$代入$2x - 3y = 1$，得$y = 3$，所以$\begin{cases}x = 5\\y = 3\end{cases}$是二元一次方程$2x - 3y = 1$的解，故D选项符合题意。故选D。

3[2024江苏苏州质检]若$(m + 2n)x^{|m| + n}=3y^{n + 2}+4$是二元一次方程，则mn的值为 （ ）
A. 2
B. -1
C. 0
D. -2

答案： A【解析】因为方程$(m + 2n)x^{\vert m\vert + n} = 3y^{n + 2} + 4$是二元一次方程，所以$\begin{cases}\vert m\vert + n = 1\\n + 2 = 1\end{cases}$，且$m + 2n\neq0$，解得$\begin{cases}m = -2\\n = -1\end{cases}$，所以$mn = -2\times(-1) = 2$。故选A。

4[2024浙江衢州期中]若方程组$\begin{cases}2a - 3b = 13,\\3a + 5b = 30.9\end{cases}$的解是$\begin{cases}a = 8.3,\\b = 1.2\end{cases}$，则方程组$\begin{cases}2(x + 2)-3(y - 1)=13,\\3(x + 2)+5(y - 1)=30.9\end{cases}$的解是 （ ）
A. $\begin{cases}x = 8.3,\\y = 1.2\end{cases}$
B. $\begin{cases}x = 10.3,\\y = 2.2\end{cases}$
C. $\begin{cases}x = 10.3,\\y = 0.2\end{cases}$
D. $\begin{cases}x = 6.3,\\y = 2.2\end{cases}$

答案： D【解析】设$x + 2 = a$，$y - 1 = b$，则方程组变形为$\begin{cases}2a - 3b = 13\\3a + 5b = 30.9\end{cases}$。因为方程组$\begin{cases}2a - 3b = 13\\3a + 5b = 30.9\end{cases}$的解为$\begin{cases}a = 8.3\\b = 1.2\end{cases}$，所以$\begin{cases}x + 2 = 8.3\\y - 1 = 1.2\end{cases}$，所以$\begin{cases}x = 6.3\\y = 2.2\end{cases}$。故选D。

5[新考向·传统文化][2023浙江宁波镇海区期中]《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，如图（1），图（2）. 图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项. 把图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来就是$\begin{cases}3x + 2y = 19,\\x + 4y = 23.\end{cases}$在图（2）所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图（2）所表示的方程组中y的值为2，则被墨水所覆盖的图形为 （ ）
　　　　　　　　　　　|||　|　　　　|
　　 　　||○=||||
　　　　　　　　　　　　　图(2)
A. 　　　
　B. 　　　
　C. 　　
　D.

答案： D【解析】设被墨水覆盖的图形表示的数据为$a$。根据题意得$\begin{cases}3x + y = 11\\2x + ay = 24\end{cases}$，把$y = 2$代入$3x + y = 11$，得$3x + 2 = 11$，解得$x = 3$。把$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$代入$2x + ay = 24$，得$6 + 2a = 24$，解得$a = 9$，故选D。

6[2023浙江杭州西湖区期中]已知关于x，y的方程组$\begin{cases}2x + 3y = m + 3,\\x - 3y = 2m,\end{cases}$给出下列结论：（1）$\begin{cases}x = 1,\\y = \frac{1}{3}\end{cases}$是方程组的一个解；（2）当m = -2时，x，y的值互为相反数；（3）x，y的数量关系是x - 3y = 2；（4）-3xy + x有最小值$-\frac{1}{4}$，其中正确的是 （ ）
A. （2）（3）
B. （1）（4）
C. （1）（2）（4）
D. （1）（2）（3）（4）

答案： C【解析】
(1)将$x = 1$，$y = \frac{1}{3}$代入方程组得$\begin{cases}2 + 1 = m + 3\\1 - 1 = 2m\end{cases}$，解得$m = 0$，故
(1)正确。
(2)将$m = -2$代入方程组得$\begin{cases}2x + 3y = 1,①\\x - 3y = -4,②\end{cases}$① + ②得$3x = -3$，解得$x = -1$。将$x = -1$代入②得$-1 - 3y = -4$，解得$y = 1$，则$x$与$y$互为相反数，故
(2)正确。
(3)$\begin{cases}2x + 3y = m + 3,③\\x - 3y = 2m,④\end{cases}$③×2 - ④，得$3x + 9y = 6$，整理得$x + 3y = 2$，故
(3)错误。
(4)由$x + 3y = 2$得$x = 2 - 3y$。因为$x(1 - 3y) = -3xy + x$，所以$-3xy + x = (2 - 3y)(1 - 3y) = 9y^2 - 9y + 2 = 9(y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$。因为$(y - \frac{1}{2})^2\geq0$，所以$-3xy + x$的最小值是$-\frac{1}{4}$，故
(4)正确，则正确的为
(1)
(2)
(4)。故选C。

二、填空题（共24分）
7 已知$\begin{cases}x = -1,\\y = 2\end{cases}$是二元一次方程mx + 2y = 1的解，则m =________.

答案： 3【解析】已知$\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases}$是二元一次方程$mx + 2y = 1$的解，则$-m + 2\times2 = 1$，解得$m = 3$。

8[新考向·开放性试题]若关于x，y的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 2,\\A = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$，则多项式A可以是________（写出一个即可）.

答案： $x - y$(答案不唯一)【解析】因为关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 2\\A = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$，而$1 - 1 = 0$，所以多项式$A$可以是$x - y$。故答案为$x - y$(答案不唯一)。

9[新考法][2023广东佛山期末]对于任意有理数a，b，定义关于“$\oplus$”的一种运算如下：$a\oplus b = 2a + b$. 例如：$3\oplus4 = 2\times3 + 4 = 10$. 若$x\oplus(-y)=2$且$2y\oplus x = -1$，则x + y =________.

答案： $\frac{1}{3}$【解析】因为$x\oplus(-y) = 2$，且$2y\oplus x = -1$，所以$\begin{cases}2x - y = 2\\4y + x = -1\end{cases}$，两式相加，可得$3x + 3y = 1$，所以$x + y = \frac{1}{3}$。故答案为$\frac{1}{3}$。

10[2024浙江金华调研]利用两块大小相同的长方体木块测量一张桌子的高度. 首先按图（1）（示意图）的方式放置两木块，再交换两木块的位置，按图（2）（示意图）的方式放置. 测量的数据如图所示，则桌子的高度是________.
　　　 　

答案： 76 cm【解析】设题图中阴影长方形的长为$x$ cm，宽为$y$ cm，桌子的高为$a$ cm。由题意得$\begin{cases}x + a - y = 79\\y + a - x = 73\end{cases}$，两式相加，得$2a = 152$，解得$a = 76$。故答案为76 cm。

11[2024江苏徐州期中]已知$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$是从1或2中取值的一列数（1和2都至少有一个），若$(a_1 + 1)^2+(a_2 + 1)^2+(a_3 + 1)^2+\cdots+(a_n + 1)^2 = 66$，则这列数的个数n为________.

答案： 9或14【解析】设这列数中有$x$个1，$y$个2，则对应$(a_1 + 1)^2$，$(a_2 + 1)^2$，$\cdots$，$(a_n + 1)^2$中有$x$个4，$y$个9。因为$(a_1 + 1)^2 + (a_2 + 1)^2 + (a_3 + 1)^2 + \cdots + (a_n + 1)^2 = 66$，所以$4x + 9y = 66$，所以$x = \frac{66 - 9y}{4}$。因为$x$，$y$均为正整数，所以$\begin{cases}x = 3\\y = 6\end{cases}$或$\begin{cases}x = 12\\y = 2\end{cases}$，所以这列数的个数$n = x + y = 9$或14。故答案为9或14。

12 已知关于x，y的二元一次方程组$\begin{cases}ax + by = 5,\\bx + ay = 6\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = 6\end{cases}$，那么关于m，n的二元一次方程组$\begin{cases}a(m + n)+b(m - n)=5,\\b(m + n)+a(m - n)=6\end{cases}$的解为________.

答案： $\begin{cases}m = 5\\n = -1\end{cases}$【解析】因为关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax + by = 5\\bx + ay = 6\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 6\end{cases}$，所以可以把关于$m$，$n$的二元一次方程组$\begin{cases}a(m + n) + b(m - n) = 5\\b(m + n) + a(m - n) = 6\end{cases}$中的$m + n$看成$x$，$m - n$看成$y$，所以$\begin{cases}m + n = 4\\m - n = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 5\\n = -1\end{cases}$。故答案为$\begin{cases}m = 5\\n = -1\end{cases}$。