《2025年初中必刷题七年级数学下册苏科版》

1 下列方程中：①$x + y + z = 3$；②$xyz = 3$；③$\frac{x + y + z}{3}=1$；④$\frac{3}{x + y + z}=1$. 三元一次方程共有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： 1. B 【解析】①$x + y + z = 3$是三元一次方程；②$xyz = 3$不是三元一次方程；③$\frac{x + y + z}{3} = 1$是三元一次方程；④$\frac{3}{x + y + z} = 1$不是三元一次方程，则三元一次方程共有2个. 故选B.

2 [2023江苏宿迁调研]若方程组$\begin{cases}x - by + 4z = 1,\\x - 2by + 3z = 3\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = a,\\y = 1,\\z = c,\end{cases}$则$a + b + 6c$的值是（ ）
A. -3
B. 0
C. 3
D. 6

答案： 2. A 【解析】把$\begin{cases}x = a\\y = 1\\z = c\end{cases}$代入方程组得$\begin{cases}a - b + 4c = 1,①\\a - 2b + 3c = 3,②\end{cases}$① - ②得$b + c = - 2$，即$b = - 2 - c$，①×2 - ②得$a + 5c = - 1$，即$a = - 5c - 1$，则原式$= - 5c - 1 - 2 - c + 6c = - 3$. 故选A.

3 [2024福建泉州质检]方程组$\begin{cases}x + y = 1,\\x + z = 0,\\y + z = -1\end{cases}$的解是（ ）
A. $\begin{cases}x = -1,\\y = 1,\\z = 0\end{cases}$
B. $\begin{cases}x = 1,\\y = 0,\\z = -1\end{cases}$
C. $\begin{cases}x = 0,\\y = 1,\\z = -1\end{cases}$
D. $\begin{cases}x = -1,\\y = 0,\\z = 1\end{cases}$

答案：
3. B 【解析】$\begin{cases}x + y = 1,①\\x + z = 0,②\\y + z = - 1,③\end{cases}$① + ② + ③，得$2x + 2y + 2z = 0$，即$x + y + z = 0$，④ 将①代入④，得$z = - 1$，将②代入④，得$y = 0$，将③代入④，得$x = 1$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 0\\z = - 1\end{cases}$，故选B.
解三元一次方程组的基本思路：

关键点拨：把$x$，$y$与$z$的值代入方程组，将$c$看成已知数表示出$a$与$b$，再代入原式计算即可求出代数式的值.

4 [2023北京朝阳区质检]小铃观察三元一次方程组$\begin{cases}x + y + z = 1,①\\4x + 2y + z = 3,②\\9x + 3y + z = 7③\end{cases}$各个未知数的系数特点，先用② - ①，得$3x + y = 2$，记为④，消掉未知数$z$，那么下一步应完成的是________，得到________，记为⑤，由④⑤可解得$x$，$y$的值，通过代入$x$，$y$的值求出未知数$z$的值，完成这个三元一次方程组的求解.

答案： 4. ③ - ① $8x + 2y = 6$(本题答案不唯一)
【解析】$\begin{cases}x + y + z = 1,①\\4x + 2y + z = 3,②\\9x + 3y + z = 7,③\end{cases}$② - ①，得$3x + y = 2$，④ ③ - ①，得$8x + 2y = 6$，⑤ 由④⑤得到二元一次方程组$\begin{cases}3x + y = 2\\8x + 2y = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = - 1\end{cases}$，把$\begin{cases}x = 1\\y = - 1\end{cases}$代入①得$z = 1$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = - 1\\z = 1\end{cases}$，故答案为③ - ①，$8x + 2y = 6$. (本题答案不唯一)

5 [2024上海静安区期末]解方程组：
(1)$\begin{cases}-6x + 5y - 3z = -4,\\6x - 3y + z = 8,\\6x + y + 4z = 9;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x - y - z = 2,\\3x + 5y + 7z = 24,\\4x - y + 2z = 26.\end{cases}$

答案： 5. 【解】
(1)$\begin{cases}- 6x + 5y - 3z = - 4,①\\6x - 3y + z = 8,②\\6x + y + 4z = 9,③\end{cases}$
① + ②，得$2y - 2z = 4$，整理得$y - z = 2$，④
① + ③，得$6y + z = 5$，⑤
联立④⑤解得$\begin{cases}y = 1\\z = - 1\end{cases}$
把$\begin{cases}y = 1\\z = - 1\end{cases}$代入②，得$x = 2$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 2\\y = 1\\z = - 1\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x - y - z = 2,①\\3x + 5y + 7z = 24,②\\4x - y + 2z = 26,③\end{cases}$
③ - ①，得$3x + 3z = 24$，整理得$x + z = 8$，④
①×5 + ②，得$8x + 2z = 34$，整理得$4x + z = 17$，⑤
联立④⑤解得$\begin{cases}x = 3\\z = 5\end{cases}$，把$\begin{cases}x = 3\\z = 5\end{cases}$代入①，得$y = - 4$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = - 4\\z = 5\end{cases}$

6 已知方程组$\begin{cases}x + 2y = k,\\2x + y = 1\end{cases}$的解满足$x + y = 3$，则$k$的值为（ ）
A. 10
B. 8
C. 2
D. -8

答案： 6. B 【解析】由题意可得$\begin{cases}x + 2y = k,①\\2x + y = 1,②\\x + y = 3.③\end{cases}$2×① - ②得$y = \frac{2}{3}k - \frac{1}{3}$，② - ③得$x = - 2$. 将$x = - 2$代入③得$y = 5$，则$\frac{2}{3}k - \frac{1}{3} = 5$，解得$k = 8$. 故选B.

7 [2023江苏扬州广陵区质检]三个二元一次方程$2x + 5y - 6 = 0$，$3x - 2y - 9 = 0$，$y = kx - 9$有公共解，则$k$的值是________.

答案： 7. 3 【解析】由题意得$\begin{cases}2x + 5y - 6 = 0,①\\3x - 2y - 9 = 0,②\\y = kx - 9,③\end{cases}$
①×3 - ②×2得$y = 0$. 将$y = 0$代入①得$x = 3$. 把$x = 3$，$y = 0$代入③，得$3k - 9 = 0$，解得$k = 3$. 故答案为3.

8 有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共300元；若购买甲4件、乙9件、丙1件，共420元. 现在购买甲1件、乙2件，共需________元.

答案： 8. 120 【解析】设购买甲、乙、丙各1件分别需要$x$，$y$，$z$元. 根据题意，得$\begin{cases}3x + 7y + z = 300,①\\4x + 9y + z = 420.②\end{cases}$
② - ①得$x + 2y = 120$，即现在购买甲1件、乙2件，共需120元.

9 已知$y = ax^{2}+bx + c$，当$x = 1$时，$y = 8$；当$x = 0$时，$y = 2$；当$x = -2$时，$y = 4$.
(1)求$a$，$b$，$c$的值；
(2)当$x = -3$时，求$y$的值.

答案： 9. 【解】
(1)根据题意得$\begin{cases}a + b + c = 8,①\\c = 2,②\\4a - 2b + c = 4.③\end{cases}$
把②代入①，得$a + b + 2 = 8$. ④
把②代入③，得$4a - 2b + 2 = 4$. ⑤
由④和⑤组成方程组$\begin{cases}a + b + 2 = 8\\4a - 2b + 2 = 4\end{cases}$，
解得$a = \frac{7}{3}$，$b = \frac{11}{3}$，
所以$a = \frac{7}{3}$，$b = \frac{11}{3}$，$c = 2$.
(2)由
(1)得$y = \frac{7}{3}x^{2} + \frac{11}{3}x + 2$.
当$x = - 3$时，$y = \frac{7}{3}×(- 3)^{2} + \frac{11}{3}×(- 3) + 2 = 12$.

10 [2024湖北武汉质检]在$\triangle ABC$中，$\angle B = 2\angle C$，$\angle A$比$\angle C$多$20^{\circ}$，求$\triangle ABC$各内角度数.

答案： 10. 【解】由题意，得$\begin{cases}\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ},①\\\angle B = 2\angle C,②\\\angle A = \angle C + 20^{\circ},③\end{cases}$
将②③代入①，解得$\angle C = 40^{\circ}$，
将$\angle C = 40^{\circ}$代入②，得$\angle B = 80^{\circ}$，
将$\angle C = 40^{\circ}$代入③，得$\angle A = 60^{\circ}$，
所以$\triangle ABC$各内角度数为$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle B = 80^{\circ}$，$\angle C = 40^{\circ}$.