《2025年初中必刷题七年级数学下册苏科版》

7[2024江苏无锡调研]如图,将△ABC沿射线AB方向平移4个单位长度得到△DEF,DF与BC交于点H,CH = 3,EF = 7.下列结论:①BH//EF;②AD = BD;③∠C = ∠BHD;④阴影部分的面积为22.其中一定正确的有________.(填序号)
　　　　　　

答案： ①③④ 【解析】因为△ABC沿射线AB方向平移4个单位长度得到△DEF，所以$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle DEF}$，BC//EF，AC//DF，BC = EF = 7，AD = BE = 4，故①正确，②不一定正确。因为AC//DF，所以∠C = ∠BHD，故③正确。因为$S_{阴影部分} + S_{\triangle BDH} = S_{梯形BEFH} + S_{\triangle BDH}$，所以$S_{阴影部分} = S_{梯形BEFH} = \frac{1}{2}×(4 + 7)×4 = 22$，故④正确。故答案为①③④。

8[2024江苏无锡期中]如图,在四边形纸片ABCD中,AB//CD,将纸片沿EF折叠,点A,D 分别落在A',D'处,且A'D'经过点B,FD'交BC 于点G,连接EG,EG平分∠BEF.若EG//A'D',∠A + ∠DFE = 125°,则∠CFE的度数是________°.
　　

答案： 130 【解析】设∠GEF = α。因为EG平分∠BEF，所以∠GEB = ∠GEF = α，∠BEF = 2∠GEF = 2α，所以∠AEF = 180° - ∠BEF = 180° - 2α。由折叠的性质得∠A'EF = ∠AEF = 180° - 2α，∠A = ∠A'，所以∠A'EG = ∠A'EF - ∠GEF = 180° - 2α - α = 180° - 3α。因为AB//CD，所以∠DFE = ∠BEF = 2α。因为∠A + ∠DFE = 125°，所以∠A = 125° - ∠DFE = 125° - 2α，所以∠A' = ∠A = 125° - 2α。因为EG//A'D'，所以∠A' + ∠A'EG = 180°，即125° - 2α + 180° - 3α = 180°，解得α = 25°，所以∠DFE = 2α = 50°，所以∠CFE = 180° - ∠DFE = 130°。故答案为130。

9新考法[2024广东深圳期中]如图,直角三角形ABC中,AC = 3,BC = 4,AB = 5,点C,A在直线l上,将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，得到点P1,点P1在直线l上,将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,得到点P2,点P2在直线l上,...,按照此规律继续旋转,直到得到点P2021,则AP2021 = __________.
　　

答案： 8085 【解析】在直角三角形ABC中，因为∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，AB = 5，所以将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，得到点P₁，此时AP₁ = 5；将位置①的三角形绕点P₁顺时针旋转到位置②，得到点P₂，此时AP₂ = 5 + 4 = 9；将位置②的三角形绕点P₂顺时针旋转到位置③，得到点P₃，此时AP₃ = 5 + 4 + 3 = 12。又因为2021÷3 = 673……2，所以AP₂₀₂₁ = 673×12 + (5 + 4) = 8085。故答案为8085。

10[2024浙江杭州质检]如图,点A,B在直线l 的同侧,点B'是点B关于直线l的对称点，AB'交l于点P.
　　(1)AB'与AP+PB相等吗？为什么？
(2)在l上再取一点Q,并连接AQ和QB,比较AQ+QB与AP+PB的大小,并说明理由.

答案：
【解】
(1)AB'与AP + PB相等。理由如下：
连接BB'，如图
(1)所示。

因为点B'是点B关于直线l的对称点，所以PB = PB'，所以AP + PB' = AP + BP，即AB' = AP + BP。
(2)AQ + QB ＞ AP + PB。理由如下：
如图
(2)所示，连接QB'。

因为点B'是点B关于l的对称点，所以BQ = QB'。
因为AQ + QB' ＞ AB'，所以AQ + QB ＞ AB'。
因为AB' = AP + PB，所以AQ + QB ＞ AP + PB。

11[2024江苏盐城期末]将三角板ABC与三角板ADE按图(1)所示方式摆放在一起,其中∠ACB = 30°,∠DAE = 45°,∠BAC = ∠D = 90°.
　如图(2),固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转,记旋转角∠CAE = α(0°＜α＜180°).
　　　　　　　E固定三角板ABC　　　　　D 三角板ADE绕点A
　　　　　　　按顺时针方向旋转B　图(2)
　　(1)在旋转过程中,当α为________时,AD//BC,当α为________时,AD⊥BC;
　　(2)当△ADE的一边与△ABC的某一边平行(不共线)时,直接写出旋转角α的所有可能的度数;
　　(3)当0°＜α＜45°时,连接BD,利用图(3)探究∠BDE + ∠CAE + ∠DBC的大小变化情况,并说明理由.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
【解】
(1)如图
(1)，记DE与AC的交点为F，DE与BC的交点为G。
因为AD//BC，所以∠DAF = ∠C = 30°。
因为∠DAE = 45°，所以∠CAE = 15°，即α = 15°。
如图
(2)，记AD与BC的交点为F。
因为AD⊥BC，所以∠AFC = 90°，
所以∠DAC = 180° - ∠AFC - ∠C = 180° - 90° - 30° = 60°，
所以∠CAE = ∠DAC + ∠EAD = 60° + 45° = 105°，即α = 105°。
故答案为15°，105°。
易错警示：
(2)题中并未说明△ADE与△ABC中具体哪两边平行，故需分情况讨论，注意不要漏解。
关键点拨：
(2)掌握轴对称的性质和两点之间线段最短是解答本题的关键。
(2)旋转角$\alpha$的所有可能的度数是$15^{\circ},45^{\circ},105^{\circ},135^{\circ},150^{\circ}$。
①当$AD// BC$时，如图
(1)所示，
由
(1)得，$\alpha = 15^{\circ}$；
②当$DE// BC$时，如图
(2)所示。
由
(1)得，$AD\perp BC$，所以$\angle AFB = 90^{\circ}$。
因为$\angle ADE = 90^{\circ}$，所以$DE// BC$，
所以$\alpha = 105^{\circ}$；
③当$DE// AB$时，如图
(3)所示，易知$\alpha = 45^{\circ}$；

④当$DE// AC$时，如图
(4)所示，
$\alpha=\angle EAD+\angle BAC = 45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$；

⑤当$AE// BC$时，如图
(5)所示，$\angle EAC+\angle C = 180^{\circ}$。
因为$\angle C = 30^{\circ}$，所以$\angle EAC = 150^{\circ}$，即$\alpha = 150^{\circ}$。
综上所述，旋转角$\alpha$的所有可能的度数是$15^{\circ},45^{\circ},105^{\circ},135^{\circ},150^{\circ}$。

(3)当$0^{\circ}＜\alpha＜45^{\circ}$时，$\angle BDE+\angle CAE+\angle DBC = 105^{\circ}$，保持不变，理由如下：如图
(6)，设$BD$分别交$AC$，$AE$于点$M$，$N$。在$\triangle AMN$中，$\angle AMN+\angle CAE+\angle ANM = 180^{\circ}$。
因为$\angle ANM=\angle E+\angle BDE$，$\angle AMN=\angle C+\angle DBC$，所以$\angle E+\angle BDE+\angle CAE+\angle C+\angle DBC = 180^{\circ}$。
因为$\angle C = 30^{\circ}$，$\angle E = 45^{\circ}$，
所以$\angle BDE+\angle CAE+\angle DBC = 105^{\circ}$。