《2025年初中必刷题七年级数学下册苏科版》

1[2024浙江杭州期中，中]已知关于x，y的方程组$\begin{cases}x + 2y = k,\\2x + 3y = 3k - 1,\end{cases}$以下结论中不成立的是（ ）
A. 不论k取什么数，x + 3y的值始终不变
B. 存在一个数k，使得x + y = 0
C. 当y - x = - 1时，k = 1
D. 当k = 0时，方程组的解也是方程x - 2y = - 3的解

答案：
D 【解析】$\begin{cases}x + 2y = k,①\\2x + 3y = 3k - 1,②\end{cases}$ ①×2，得$2x + 4y = 2k$，③ ③ - ②，得$y = 1 - k$。将$y = 1 - k$代入①，得$x = 3k - 2$。
A $x + 3y = 3k - 2 + 3 - 3k = 1$，故 A 正确
因为$x + y = 3k - 2 + 1 - k = 2k - 1$，所以$x + y = 0$时，$2k - 1 = 0$，所以$k = \frac{1}{2}$，故 B 正确
因为$y - x = 1 - k - 3k + 2 = 3 - 4k$，所以$y - x = -1$时，$3 - 4k = -1$，所以$k = 1$，故 C 正确
当$k = 0$时，方程组的解为$\begin{cases}x = -2\\y = 1\end{cases}$。将$\begin{cases}x = -2\\y = 1\end{cases}$代入$x - 2y = -3$，得左边$= -4 \neq$右边，故 D 不正确

2[中]已知方程组$\begin{cases}(m - n)x - 3y = 10,①\\4x + (3m + n)y = 12,②\end{cases}$①×2 - ②能消去x，② + ①能消去y，则m + n的值为_______.

答案： $\frac{1}{2}$ 【解析】由①×2 - ②能消去$x$，得$2(m - n) - 4 = 0$，即$m - n = 2$。由② + ①能消去$y$，得$-3 + 3m + n = 0$，即$3m + n = 3$。解方程组$\begin{cases}m - n = 2\\3m + n = 3\end{cases}$得$\begin{cases}m = \frac{5}{4}\\n = -\frac{3}{4}\end{cases}$，所以$m + n = \frac{1}{2}$。
关键点拔：根据条件将方程组整理得到关于$x$，$y$的代数式，再根据$x + 11y$中$x$，$y$的系数列出关于$a$，$b$的方程组求解即可。根据①×2 - ②能消去$x$得出$2(m - n) - 4 = 0$，根据② + ①能消去$y$得出$-3 + 3m + n = 0$，则得出关于$m$，$n$的方程组，再求出此方程组的解即可。

3[2024河南郑州期末，中]已知关于x，y的方程组$\begin{cases}ax + 2y = 1,\\x - by = 2,\end{cases}$小明看错a得到的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = - 2,\end{cases}$小亮看错b得到的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 1,\end{cases}$则原方程组正确的解为_______.

答案： $\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$ 【解析】因为在解方程组$\begin{cases}ax + 2y = 1\\x - by = 2\end{cases}$时，小明看错了$a$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = -2\end{cases}$，所以$1 + 2b = 2$，解得$b = \frac{1}{2}$。因为小亮看错了$b$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$，所以$a + 2 = 1$，解得$a = -1$，所以原方程组为$\begin{cases}-x + 2y = 1,①\\x - \frac{1}{2}y = 2,②\end{cases}$由①得，$x = 2y - 1$，③ 把③代入②得$2y - 1 - \frac{1}{2}y = 2$，解得$y = 2$。将$y = 2$代入③得$x = 2×2 - 1 = 3$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$，故答案为$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$。

4[2024江苏南京期中，中]已知关于x，y的方程组$\begin{cases}x + y = 5,\\4ax + 5by = - 22\end{cases}$与$\begin{cases}2x - y = 1,\\ax - by - 8 = 0\end{cases}$有相同的解，则$(a + b)^{2020}$的值为_______.

答案： 1 【解析】解方程组$\begin{cases}x + y = 5\\2x - y = 1\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$，把$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}4ax + 5by = -22\\ax - by - 8 = 0\end{cases}$，得$\begin{cases}8a + 15b = -22\\2a - 3b - 8 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = -2\end{cases}$，所以$(a + b)^{2020} = (1 - 2)^{2020} = 1$。故答案为 1。

5[中]已知x，y满足$\begin{cases}2x - 3y = 1,①\\3x - 2y = 5,②\end{cases}$我们可以不解这个方程组，用①×a + ②×b整体求出x + 11y的值，则a:b的值是________.

答案： $-\frac{7}{5}$ 【解析】由①×$a$ + ②×$b$得$a(2x - 3y) + b(3x - 2y) = (2a + 3b)x + (-3a - 2b)y$。因为①×$a$ + ②×$b$可整体得到$x + 11y$的值，所以$\begin{cases}2a + 3b = 1,③\\-3a - 2b = 11,④\end{cases}$③×2，得$4a + 6b = 2$，⑤ ④×3，得$-9a - 6b = 33$，⑥ ⑤ + ⑥，得$-5a = 35$，解得$a = -7$。将$a = -7$代入③，得$2×(-7) + 3b = 1$，解得$b = 5$，所以关于$a$，$b$的方程组的解是$\begin{cases}a = -7\\b = 5\end{cases}$，故$a:b$的值为$-\frac{7}{5}$。

6[2023江苏常州期中，中]已知方程组$\begin{cases}a_1(x + 1) + b_1(y - 2) = c_1,\\a_2(x + 1) + b_2(y - 2) = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3,\\y = 4,\end{cases}$则$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1,\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为________.

答案： $\begin{cases}x = 4\\y = 2\end{cases}$ 【解析】因为$\begin{cases}a_1(x + 1) + b_1(y - 2) = c_1\\a_2(x + 1) + b_2(y - 2) = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3\\y = 4\end{cases}$，所以$\begin{cases}x + 1 = 4\\y - 2 = 2\end{cases}$，将其代入，得$\begin{cases}4a_1 + 2b_1 = c_1\\4a_2 + 2b_2 = c_2\end{cases}$，所以$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 2\end{cases}$，故答案为$\begin{cases}x = 4\\y = 2\end{cases}$。

7[2024浙江金华质检，较难]阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组$\begin{cases}14x + 15y = 16,①\\17x + 18y = 19②\end{cases}$时，由于x，y的系数及常数项数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法比较简单：
② - ①得3x + 3y = 3，所以x + y = 1，③
③×14得14x + 14y = 14，④
① - ④得y = 2，从而得x = - 1，
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = - 1,\\y = 2.\end{cases}$
（1）请你运用上述方法解方程组$\begin{cases}2022x + 2023y = 2024,\\2025x + 2026y = 2027;\end{cases}$
（2）请你直接写出方程组$\begin{cases}2077x - 2078y = 2079,\\2078x - 2079y = 2080\end{cases}$的解是________；
（3）猜测关于x，y的方程组$\begin{cases}mx + (m + 1)y = m + 2,\\nx + (n + 1)y = n + 2\end{cases}$（m≠n）的解，并加以验证.

答案： 【解】
(1)$\begin{cases}2022x + 2023y = 2024,①\\2025x + 2026y = 2027,②\end{cases}$
② - ①，得$3x + 3y = 3$，所以$x + y = 1$，③
③×2022，得$2022x + 2022y = 2022$，④
① - ④，得$y = 2$，把$y = 2$代入③，得$x + 2 = 1$，解得$x = -1$，
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases}$。
(2)$\begin{cases}2077x - 2078y = 2079,①\\2078x - 2079y = 2080,②\end{cases}$
② - ①，得$x - y = 1$，③
③×2077，得$2077x - 2077y = 2077$，④
① - ④，得$-y = 2$，解得$y = -2$，
把$y = -2$代入③，得$x + 2 = 1$，解得$x = -1$，
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = -1\\y = -2\end{cases}$，故答案为$\begin{cases}x = -1\\y = -2\end{cases}$。
(3)猜测：$\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases}$。当$x = -1$，$y = 2$时，第一个方程：左边$= -m + (m + 1)×2 = -m + 2m + 2 = m + 2 =$右边；
第二个方程：左边$= -n + (n + 1)×2 = -n + 2n + 2 = n + 2 =$右边，所以$\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases}$是原方程组的解。