《2025年初中必刷题七年级数学下册苏科版》

1[中]若不等式组$\begin{cases}2x - a ＜ 1, \\x - 2b ＞ 3\end{cases}$的解集是-1 ＜ x ＜ 1，则(a + 1)(b - 1)的值为（ ）
A. -6
B. -5
C. -4
D. 1

答案： 刷提升
1. A【解析】不等式$2x - a ＜ 1$的解集为$x ＜ \frac{a + 1}{2}$，不等式$x - 2b ＞ 3$的解集为$x ＞ 2b + 3$，所以不等式组的解集为$2b + 3 ＜ x ＜ \frac{a + 1}{2}$。因为不等式组的解集是$-1 ＜ x ＜ 1$，所以$2b + 3 = -1$，$\frac{a + 1}{2} = 1$，解得$a = 1$，$b = -2$，所以$(a + 1)(b - 1) = -6$。故选A。

2[2023湖南长沙期末，中]若6a = 3b + 12 = 2c，且b ≥ 0，c ≤ 9，设t = 2a + b - c，则t的取值范围为________.

答案：
刷提升
2. $-2 \leq t \leq -1$

思路分析：用$a$表示$b$，$c$，$\begin{cases}b \geq 0 \\ b = 2a - 4 \\ c = 3a \\ c \leq 9\end{cases}$，用$a$表示$t$，并求$a$的取值范围，求$t$的取值范围。
【解析】因为$6a = 3b + 12 = 2c$，所以$3a = c$，$2a = b + 4$，即$b = 2a - 4$，所以$t = 2a + b - c = 2a + 2a - 4 - 3a = a - 4$。因为$b \geq 0$，$c \leq 9$，所以$3b + 12 \geq 12$，$2c \leq 18$，所以$6a \geq 12$，$6a \leq 18$，所以$2 \leq a \leq 3$，所以$-2 \leq a - 4 \leq -1$，所以$-2 \leq t \leq -1$。故答案为$-2 \leq t \leq -1$。

3[中]若关于x的不等式组$\begin{cases}x + 2(x - 1) \leq -5, \\\frac{2k + x}{3} \leq x\end{cases}$无解，且关于y的一元一次方程2(y + 1) + 3k = 11的解为非负数，则符合条件的所有整数k的和是________.

答案： 刷提升
3. 6【解析】$\begin{cases}x + 2(x - 1) \leq -5,① \\ \frac{2k + x}{3} \leq x,②\end{cases}$解不等式①，得$x \leq -1$，解不等式②，得$x \geq k$。因为关于$x$的不等式组$\begin{cases}x + 2(x - 1) \leq -5 \\ \frac{2k + x}{3} \leq x\end{cases}$无解，所以$k ＞ -1$。
解方程$2(y + 1) + 3k = 11$，得$y = \frac{9 - 3k}{2}$。因为$y \geq 0$，所以$\frac{9 - 3k}{2} \geq 0$，所以$k \leq 3$，所以$-1 ＜ k \leq 3$，所以符合条件的所有整数$k$的值为$0$，$1$，$2$，$3$，所以$0 + 1 + 2 + 3 = 6$。故答案为$6$。

4[2023江苏苏州张家港调研，较难]已知有理数a，b，满足1 ≤ a + b ≤ 4，0 ≤ a - b ≤ 1，则a - 2b取最大值时，8a + 2023b的值是________.

答案： 刷提升
4. 8【解析】设$a - 2b = m(a + b) + n(a - b)$，所以$a - 2b = (m + n)a + (m - n)b$，所以$\begin{cases}m + n = 1 \\ m - n = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -\frac{1}{2} \\ n = \frac{3}{2}\end{cases}$，所以$a - 2b = -\frac{1}{2}(a + b) + \frac{3}{2}(a - b)$。因为$1 \leq a + b \leq 4$，$0 \leq a - b \leq 1$，所以$-2 \leq -\frac{1}{2}(a + b) \leq -\frac{1}{2}$，$0 \leq \frac{3}{2}(a - b) \leq \frac{3}{2}$，所以$-2 \leq a - 2b \leq 1$，所以$a - 2b$的最大值为$1$。当$a - 2b$取最大值时，$-\frac{1}{2}(a + b) = -\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}(a - b) = \frac{3}{2}$，解得$a = 1$，$b = 0$，所以$8a + 2023b = 8$。故答案为$8$。

5[2023山东泰安期中，中]定义新运算：x * y = ax + by，其中a，b是常数，且1 * 2 = 0，(-1) * 1 = 3.
（1）求a，b的值；
（2）若0 ＜ c * (c + 3) ＜ 2，求c的取值范围；
（3）图中数轴上的墨迹恰好遮住了关于m的不等式|(2m - 1) * (2 - m)| ＜ n + 1的所有整数解，求整数n的值.
$\frac{7}{3}$

答案： 刷提升
5.【解】
(1)依题意，有$\begin{cases}a + 2b = 0 \\ -a + b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -2 \\ b = 1\end{cases}$。
(2)由
(1)得$x * y = -2x + y$。
因为$0 ＜ c * (c + 3) ＜ 2$，所以$0 ＜ -2c + (c + 3) ＜ 2$，解得$1 ＜ c ＜ 3$。
(3)因为$|(2m - 1) * (2 - m)| ＜ n + 1$，
所以$|-2(2m - 1) + (2 - m)| = |-5m + 4| ＜ n + 1$，
所以$-n - 1 ＜ -5m + 4 ＜ n + 1$，解得$\frac{-n + 3}{5} ＜ m ＜ \frac{n + 5}{5}$。
因为数轴上的墨迹遮住的整数有$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$，所以$\frac{-n + 3}{5} ＜ m ＜ \frac{n + 5}{5}$的整数解为$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$，所以$\begin{cases}-3 \leq \frac{-n + 3}{5} ＜ -2 \\ 3 ＜ \frac{n + 5}{5} \leq 4\end{cases}$，解得$13 ＜ n \leq 15$，所以整数$n$的值为$14$或$15$。

6核心素养运算能力[难]若一个不等式（组）A有解且解集为a ＜ x ＜ b(a ＜ b)，则称$\frac{a + b}{2}$为A的解集中点，若A的解集中点是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含.
（1）已知关于x的不等式组A：$\begin{cases}2x - 1 ＞ 1, \\6 - 3x ＞ 0\end{cases}$以及不等式组B：-1 ＜ x ≤ $\frac{3}{2}$，那么不等式组B对于不等式组A________（填“是”或“不是”）中点包含.
（2）已知关于x的不等式组Q：$\begin{cases}x + 1 ＞ -2k^{2}, \\3x - 6k^{2} ＜ 3\end{cases}$以及不等式P：$\frac{x - 1}{2} \leq \frac{a + 1}{3}$，若不等式P对于不等式组Q中点包含，则a的取值范围是________.
（3）关于x的不等式组S：$\begin{cases}2x + 7 ＞ 2m + 1, \\3x - 10 ＜ 6m - 1\end{cases}$以及不等式组T：$\begin{cases}x ＞ \frac{11}{6}m - \frac{5}{6}, \\3x - 10 ＜ 6m,\end{cases}$若不等式组T对于不等式组S中点包含，则m需要满足何种条件？

答案： 刷素养
6.
(1)是【解析】由$\begin{cases}2x - 1 ＞ 1 \\ 6 - 3x ＞ 0\end{cases}$，得$1 ＜ x ＜ 2$，则$A$的解集中点为$x = \frac{3}{2}$，是不等式组$B$的解。故不等式组$B$对于不等式组$A$是中点包含。
(2)$a \geq -2.5$【解析】不等式组$Q$：$\begin{cases}x + 1 ＞ -2k^2 \\ 3x - 6k^2 ＜ 3\end{cases}$的解集为$-2k^2 - 1 ＜ x ＜ 2k^2 + 1$，则其解集中点为$x = 0$。又因为不等式$P$对于不等式组$Q$中点包含，所以当$x = 0$时，$\frac{x - 1}{2} \leq \frac{a + 1}{3}$成立，则$-\frac{1}{2} \leq \frac{a + 1}{3}$，解得$a \geq -2.5$。
(3)【解】不等式组$S$：$\begin{cases}2x + 7 ＞ 2m + 1 \\ 3x - 10 ＜ 6m - 1\end{cases}$的解集为$m - 3 ＜ x ＜ 2m + 3$，且$m - 3 ＜ 2m + 3$，则其解集中点为$x = \frac{m - 3 + 2m + 3}{2} = \frac{3}{2}m$，且$m ＞ -6$。
又因为不等式组$T$对于不等式组$S$中点包含，所以$\begin{cases}\frac{3}{2}m ＞ \frac{11}{6}m - \frac{5}{6} \\ 3\times\frac{3}{2}m - 10 ＜ 6m\end{cases}$，解得$-\frac{20}{3} ＜ m ＜ \frac{5}{2}$。