《2025年初中必刷题七年级数学下册苏科版》

三、解答题（共52分）
13 解方程组：
（1）$\begin{cases}2x + y = 4,\\2y + 1 = 5x;\end{cases}$ （2）$\begin{cases}2x + y = 10,\\x - y + z = 4,\\3x - y - z = 0.\end{cases}$

答案： 【解】
(1)$\begin{cases}2x + y = 4,①\\2y + 1 = 5x.②\end{cases}$
由①得$y = 4 - 2x$，③
把③代入②得$2(4 - 2x) + 1 = 5x$，解得$x = 1$。
把$x = 1$代入③得$y = 2$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$。
(2)$\begin{cases}2x + y = 10,①\\x - y + z = 4,②\\3x - y - z = 0.③\end{cases}$
② + ③得$4x - 2y = 4$，④
①×2 + ④得$8x = 24$，解得$x = 3$。
把$x = 3$代入④得$y = 4$。
把$x = 3$，$y = 4$代入②得$z = 5$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 4\\z = 5\end{cases}$。

14[2024江苏扬州调研]已知关于x，y的方程组$\begin{cases}2x - 3y = 3,\\ax + by = -1\end{cases}$和$\begin{cases}3x + 2y = 11,\\2ax + 3by = 3\end{cases}$的解相同，求$(3a + b)^{2024}$的值.

答案： 【解】由题意可列方程组$\begin{cases}2x - 3y = 3,①\\3x + 2y = 11,②\end{cases}$
①×2 + ②×3，得$13x = 39$，解得$x = 3$，
把$x = 3$代入①，得$6 - 3y = 3$，解得$y = 1$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$。
把$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$代入$\begin{cases}ax + by = -1\\2ax + 3by = 3\end{cases}$，得$\begin{cases}3a + b = -1,③\\6a + 3b = 3,④\end{cases}$
③ - $\frac{1}{3}$×④，得$a = -2$，
把$a = -2$代入③，得$-6 + b = -1$，解得$b = 5$，
所以$(3a + b)^{2024} = (-6 + 5)^{2024} = (-1)^{2024} = 1$。

15[2023浙江绍兴诸暨期中]某中学组织初一年级学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位. 若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满. 已知45座客车每日租金为每辆220元，60座客车每日租金为每辆300元.
（1）初一年级人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
（2）可以单独租一种车，也可以同时租两种车，要使每个学生都有座位且每辆车刚好坐满，怎样租用更合算？（通过计算加以说明）

答案： 【解】
(1)设初一年级有$x$人，原计划租用45座客车$y$辆。
由题意得$\begin{cases}45y + 15 = x\\60(y - 1) = x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 240\\y = 5\end{cases}$。
答：初一年级有240人，原计划租用45座客车5辆。
(2)设租用45座客车$m$辆，60座客车$n$辆。
依题意得$45m + 60n = 240$，即$3m + 4n = 16$，
其非负整数解有两组，为$\begin{cases}m = 0\\n = 4\end{cases}$和$\begin{cases}m = 4\\n = 1\end{cases}$。
故有两种租车方案：只租用60座客车4辆或租用45座客车4辆和60座客车1辆。
当$m = 0$，$n = 4$时，租车费用为$300\times4 = 1200$(元)；
当$m = 4$，$n = 1$时，租车费用为$220\times4 + 300\times1 = 1180$(元)。
因为$1180\lt1200$，所以租用45座客车4辆和60座客车1辆更合算。

16[2023江苏苏州吴江区期末]定义：关于x，y的二元一次方程ax + by = c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：ax + by = c的“交换系数方程”为cx + by = a或ax + cy = b.
（1）方程3x + 2y = 4与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为________；
（2）已知关于x，y的二元一次方程ax + by = c的系数满足a + b + c = 0，且ax + by = c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx + ny = p的一个解，求代数式$(m + n)p + p^2+2023$的值.

答案： 【解】
(1)因为方程$3x + 2y = 4$的“交换系数方程”为$4x + 2y = 3$或$3x + 4y = 2$，所以方程$3x + 2y = 4$与它的“交换系数方程”组成的方程组为①$\begin{cases}3x + 2y = 4\\4x + 2y = 3\end{cases}$或②$\begin{cases}3x + 2y = 4\\3x + 4y = 2\end{cases}$，
所以方程组①的解为$\begin{cases}x = -1\\y = \frac{7}{2}\end{cases}$，方程组②的解为$\begin{cases}x = 2\\y = -1\end{cases}$。
故答案为$\begin{cases}x = -1\\y = \frac{7}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x = 2\\y = -1\end{cases}$。
(2)方程$ax + by = c$与它的“交换系数方程”组成的方程组为①$\begin{cases}ax + by = c\\cx + by = a\end{cases}$或②$\begin{cases}ax + by = c\\ax + cy = b\end{cases}$，
方程组①的解为$\begin{cases}x = -1\\y = \frac{a + c}{b}\end{cases}$，方程组②的解为$\begin{cases}x = \frac{b + c}{a}\\y = -1\end{cases}$，当$a + b + c = 0$时，方程组①的解为$\begin{cases}x = -1\\y = -1\end{cases}$，方程组②的解为$\begin{cases}x = -1\\y = -1\end{cases}$，即方程$ax + by = c$与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为$\begin{cases}x = -1\\y = -1\end{cases}$。将$\begin{cases}x = -1\\y = -1\end{cases}$代入$mx + ny = p$，得$-(m + n) = p$，所以$m + n = -p$，所以$(m + n)p + p^2 + 2023 = -p^2 + p^2 + 2023 = 2023$。

17 已知关于x，y的方程组$\begin{cases}x + 2y = 5,\\x - 2y + mx + 9 = 0.\end{cases}$
（1）请写出方程x + 2y = 5的所有正整数解.
（2）若方程组的解满足x + y = 0，求m的值.
（3）当m≠ -1时，方程x - 2y + mx + 9 = 0总有一个固定的解，你能求出这个方程的固定的解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数m的值.

答案： 【解】
(1)由$x + 2y = 5$，得$x = -2y + 5$。
当$y = 1$时，$x = 3$；
当$y = 2$时，$x = 1$，
所以方程的正整数解为$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$或$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$。
(2)联立得$\begin{cases}x + 2y = 5\\x + y = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -5\\y = 5\end{cases}$。
将其代入$x - 2y + mx + 9 = 0$，得$-5 - 10 - 5m + 9 = 0$，解得$m = -\frac{6}{5}$。
(3)由$x - 2y + mx + 9 = 0$总有一个固定的解，即$mx + (x - 2y + 9) = 0$总有一个固定的解，得方程的解与$m$无关，则$x = 0$，$x - 2y + 9 = 0$，解得$y = \frac{9}{2}$。
所以方程的固定的解为$\begin{cases}x = 0\\y = \frac{9}{2}\end{cases}$。
(4)$\begin{cases}x + 2y = 5,①\\x - 2y + mx + 9 = 0.②\end{cases}$
① + ②得$(m + 2)x = -4$，解得$x = -\frac{4}{m + 2}$。
把$x = -\frac{4}{m + 2}$代入①得$y = \frac{5m + 14}{2m + 4}$。
因为$x$为整数，所以整数$m$可以取$0$，$-1$，$-3$，$-4$，$2$，$-6$。
当$m = -1$时，$y = \frac{9}{2}$，不符合题意；
当$m = -3$时，$y = \frac{1}{2}$，不符合题意；
当$m = 2$时，$y = 3$，符合题意；
当$m = -6$时，$y = 2$，符合题意；
当$m = 0$时，$y = \frac{7}{2}$，不符合题意；
当$m = -4$时，$y = \frac{3}{2}$，不符合题意。
综上，整数$m$的值为$-6$或2。
关键点拔：正确理解题中“交换系数方程”的定义是解决此题的关键。
思路分析：
(1)把$y$看成已知数，用含$y$的式子表示出$x$，进而确定出方程的正整数解即可；
(2)已知方程与原方程组第一个方程联立求出$x$与$y$的值，进而求出$m$的值；
(3)方程变形后，确定出固定的解即可。