《2025年初中必刷题七年级数学下册苏科版》

1[2023江苏南通中考改编，中]若$x$，$y$，$m$满足$x + y + m = 6$，$3x - y + m = 4$，则代数式$-2xy + 1$的值可以是　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 3　　　
　B. $\frac{5}{2}$　　
　C. 2　　　
　D. $\frac{3}{2}$

答案： D 【解析】由题意可得$\begin{cases}x + y = 6 - m,①\\3x - y = 4 - m,②\end{cases}$ ① + ②得4x = 10 - 2m，所以x = $\frac{5 - m}{2}$. 将x = $\frac{5 - m}{2}$代入①得$\frac{5 - m}{2} + y = 6 - m$，解得y = $\frac{7 - m}{2}$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{5 - m}{2}\\y = \frac{7 - m}{2}\end{cases}$，则 - 2xy + 1 = -2×$\frac{5 - m}{2}×\frac{7 - m}{2} + 1 = -\frac{(5 - m)(7 - m)}{2} + 1 = -\frac{m^2 - 12m + 35}{2} + 1 = -\frac{(m^2 - 12m + 36) - 1}{2} + 1 = -\frac{(m - 6)^2}{2} + \frac{3}{2} \leq \frac{3}{2}$. 因为3 ＞ $\frac{5}{2}$ ＞ 2 ＞ $\frac{3}{2}$，所以选项A、B、C均不符合题意，选项D符合题意，故选D.

2[2023江苏泰州海陵区期末，中]已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + 3y = 4 - a,\\x - y = 3a,\end{cases}$给出下列结论，其中正确的是　　　　　　　　　　　(　　　)
(1)当这个方程组的解满足$x$，$y$的值互为相反数时，$a = -2$；(2)当$a = 1$时，方程组的解也是关于$x$，$y$的方程$x + y = 4 + 2a$的解；(3)无论$a$取什么有理数，$x + 2y$的值始终不变；(4)若用$x$表示$y$，则$y = -\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$.
A. (1)(2)　　　　　　
　B. (2)(3)
C. (1)(3)(4)　　　　
　D. (2)(3)(4)

答案： C 【解析】$\begin{cases}x + 3y = 4 - a,①\\x - y = 3a,②\end{cases}$ ① + ②得2x + 2y = 4 + 2a，所以x + y = 2 + a. 当这个方程组的解满足x，y的值互为相反数，即x + y = 0时，2 + a = 0，所以a = -2，故
(1)正确；因为原方程组的解满足x + y = 2 + a，所以当a = 1时，x + y = 3，而当a = 1时，关于x，y的方程x + y = 4 + 2a的解满足x + y = 6，故
(2)不正确；$\begin{cases}x + 3y = 4 - a\\x - y = 3a\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2a + 1\\y = 1 - a\end{cases}$，所以x + 2y = 2a + 1 + 2 - 2a = 3，所以无论a取什么有理数，x + 2y的值始终不变，故
(3)正确；$\begin{cases}x + 3y = 4 - a,①\\x - y = 3a,②\end{cases}$ 由①得a = 4 - x - 3y，③ 把③代入②得x - y = 3(4 - x - 3y)，所以y = -$\frac{x}{2} + \frac{3}{2}$，故
(4)正确. 故选C.

3[2023江苏无锡期末，中]$m$为负整数，已知二元一次方程组$\begin{cases}mx + 2y = 10,\\3x + 2y = 0\end{cases}$有整数解，则$m$的值为________.

答案： -2 【解析】$\begin{cases}mx + 2y = 10,①\\3x + 2y = 0,②\end{cases}$ ① - ②得，(m - 3)x = 10，所以x = $\frac{10}{m - 3}$. 将x = $\frac{10}{m - 3}$代入②得$\frac{30}{m - 3} + 2y = 0$，解得y = -$\frac{15}{m - 3}$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{10}{m - 3}\\y = -\frac{15}{m - 3}\end{cases}$. 因为方程组$\begin{cases}mx + 2y = 10\\3x + 2y = 0\end{cases}$有整数解，所以m - 3为10和15的公约数. 又因为m为负整数，所以m - 3 = -5，解得m = -2，故答案为-2.

4[2023福建福州调研，中]已知$2a + 2b + ab = \frac{2}{3}$，且$a + b + 3ab = -\frac{1}{2}$，那么$a + b + ab$的值为_______.

答案： $\frac{1}{6}$ 【解析】$\begin{cases}2a + 2b + ab = \frac{2}{3},①\\a + b + 3ab = -\frac{1}{2},②\end{cases}$ 所以②×2得2a + 2b + 6ab = -1，③ 则③ - ①得5ab = -1 - $\frac{2}{3}$，解得ab = -$\frac{1}{3}$. 把ab = -$\frac{1}{3}$代入②，得a + b = -$\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$，所以a + b + ab = $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$. 故答案为$\frac{1}{6}$.

5[2024浙江绍兴期中，中]关于$x$，$y$的二元一次方程$(m - 3)x + (m + 2)y = 3m - 4$，当$m$每取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个相同解，则这个相同解是________.

答案： $\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$ 【解析】因为(m - 3)x + (m + 2)y = 3m - 4，所以mx - 3x + my + 2y = 3m - 4，即m(x + y - 3) + (-3x + 2y + 4) = 0. 因为当m每取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个相同解，所以$\begin{cases}x + y - 3 = 0,①\\-3x + 2y + 4 = 0,②\end{cases}$ ①×3 + ②，得5y - 5 = 0，解得y = 1. 将y = 1代入①，得x = 2. 所以这个相同解是$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$，故答案为$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$.

6[2024江苏南京质检，中]解方程组$\begin{cases}ax + by = 6,\\cx - 4y = -2\end{cases}$时，小强正确解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 2,\end{cases}$而小刚只看错了$c$，解得$\begin{cases}x = -2,\\y = 4,\end{cases}$那么当$x = -1$时，$ax^2 + bx + c$的值为________.

答案： 2 【解析】由题意得，$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$是方程组$\begin{cases}ax + by = 6\\cx - 4y = -2\end{cases}$的解，所以2a + 2b = 6，① 2c - 8 = -2，所以c = 3. 因为小刚只看错了c，解得$\begin{cases}x = -2\\y = 4\end{cases}$，所以$\begin{cases}x = -2\\y = 4\end{cases}$是方程ax + by = 6的解，所以 - 2a + 4b = 6. ② 联立①②得$\begin{cases}2a + 2b = 6,①\\-2a + 4b = 6,②\end{cases}$ ① + ②，得6b = 12，解得b = 2. 将b = 2代入①，得a = 1，所以当x = -1时，ax^2 + bx + c的值为1×(-1)^2 + 2×(-1) + 3 = 2. 故答案为2.

7[2023浙江杭州西湖区期中，中]已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x - y = 4a - 3,\\x + 2y = -5a.\end{cases}$
(1)①当$a = 0$时，该方程组的解是________；②$x$与$y$的数量关系是________（不含字母$a$）.
(2)是否存在有理数$a$，使得$|x + 3|+y^2 = 0$？请写出你的思考过程.

答案： 【解】
(1)①把a = 0代入方程组得$\begin{cases}x - y = -3,①\\x + 2y = 0,②\end{cases}$ ② - ①得3y = 3，解得y = 1. 把y = 1代入①，得x - 1 = -3，解得x = -2，则原方程组的解为$\begin{cases}x = -2\\y = 1\end{cases}$.
②$\begin{cases}x - y = 4a - 3,①\\x + 2y = -5a,②\end{cases}$ ② - ①得3y = -9a + 3，解得y = -3a + 1. ③ 把y = -3a + 1代入①，得x - (-3a + 1) = 4a - 3，解得x = a - 2，即a = x + 2. 把a = x + 2代入③，得y = -3(x + 2) + 1，整理得3x + y = -5. 故答案为3x + y = -5.
(2)不存在有理数a，使得|x + 3| + y^2 = 0. 因为|x + 3| + y^2 = 0，所以x + 3 = 0，y = 0，解得x = -3，y = 0，代入方程组得 - 3 = 4a - 3， - 3 = -5a，解得a = 0且a = $\frac{3}{5}$，矛盾，则不存在有理数a，使得|x + 3| + y^2 = 0.

8核心素养运算能力[2023广东广州越秀区期末，较难]阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想.
(1)①解方程组$\begin{cases}3x - 2y = -1,\\3x + y = 5,\end{cases}$求得此方程组的解为________；
②解关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3(m + n)-2(n + 3)= -a,\\3(m + n)+(n + 3)= 5a\end{cases}$时，可以把$m + n$，$n + 3$看成一个整体，则$2m + n =$________.
(2)若关于$m$，$n$的方程组$\begin{cases}am + bn = 7,\\2m - bn = -2\end{cases}$与$\begin{cases}3m + n = 5,\\am - bn = -1\end{cases}$有相同的解，求$a$，$b$的值.
(3)已知方程组$\begin{cases}3x + 7y + 5z = 28,\\4x - 2y + z = 9,\end{cases}$求$x + y + z$的值.

答案： 【解】
(1)①$\begin{cases}3x - 2y = -1,①\\3x + y = 5,②\end{cases}$ ② - ①，得y = 2. 将y = 2代入①，得x = 1，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$.
②$\begin{cases}3(m + n) - 2(n + 3) = -a,①\\3(m + n) + (n + 3) = 5a,②\end{cases}$ ② - ①，得n + 3 = 2a. 将n + 3 = 2a代入①，得m + n = a，所以m = a - n，n = 2a - 3，所以2m + n = 2(a - n) + n = 2a - n = 2a - (2a - 3) = 3，故答案为3.
(2)因为方程组$\begin{cases}am + bn = 7\\2m - bn = -2\end{cases}$与$\begin{cases}3m + n = 5\\am - bn = -1\end{cases}$有相同的解，所以方程组$\begin{cases}am + bn = 7\\am - bn = -1\end{cases}$与$\begin{cases}2m - bn = -2\\3m + n = 5\end{cases}$有相同的解. $\begin{cases}am + bn = 7,①\\am - bn = -1,②\end{cases}$ ① + ②，得am = 3. 将am = 3代入①，得bn = 4. 因为2m - bn = -2，所以m = 1，将m = 1代入3m + n = 5可得n = 2，所以a = 3，b = 2.
(3)$\begin{cases}3x + 7y + 5z = 28,①\\4x - 2y + z = 9,②\end{cases}$ ① - ②×5，得x - y = 1，即x = y + 1. 将x = y + 1代入②，得2y + z = 5，即z = 5 - 2y，所以x + y + z = y + 1 + y + 5 - 2y = 6.