《2025年初中必刷题七年级数学下册苏科版》

1[中]若$P=(x - 2)\cdot(x - 3)$，$Q=(x - 1)(x - 4)$，则$P$与$Q$的大小关系是（ ）
A. $P＞Q$
B. $P＜Q$
C. $P = Q$
D. 由$x$的取值而定

答案： A
归纳总结|代数式比较大小常用的方法
(1)作差法：作差→变形→与零比较大小→判断符号→下结论；
(2)作商法：常用于比较分数指数幂的代数式的大小，结果与1比较大小进行判断.
【解析】$P - Q=(x - 2)(x - 3)-(x - 1)\cdot(x - 4)=(x^{2}-5x + 6)-(x^{2}-5x + 4)=x^{2}-5x + 6 - x^{2}+5x - 4 = 2$. 因为$2＞0$，所以$P＞Q$.

2[中]若$a$，$b$，$k$均为整数，则满足等式$(x + a)(x + b)=x^{2}+kx + 18$的所有$k$值有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 6个
D. 8个

答案： C【解析】因为$(x + a)(x + b)=x^{2}+kx + 18$，所以$x^{2}+(a + b)x+ab=x^{2}+kx + 18$，所以$a + b = k$，$ab = 18$. 因为$a$，$b$，$k$均为整数，所以当$a = 1$，$b = 18$时，$k = 19$；当$a = -1$，$b = -18$时，$k = -19$；当$a = 2$，$b = 9$时，$k = 11$；当$a = -2$，$b = -9$时，$k = -11$；当$a = 3$，$b = 6$时，$k = 9$；当$a = -3$，$b = -6$时，$k = -9$. 故满足题意的$k$的值共有6个. 故选 C.

3[2024江苏苏州期中，较难]在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就首先使用了求和符号“$\sum$”. 如记$\sum_{k = 1}^{n}k=1 + 2 + 3+\cdots+(n - 1)+n$；$\sum_{k = 3}^{n}(x + k)=(x + 3)+(x + 4)+\cdots+(x + n)$. 已知$\sum_{k = 2}^{n}[(x + k)(x - k + 1)]=5x^{2}+mx - 70$，则$m$的值是（ ）
A. 4
B. 5
C. -5
D. -4

答案： B【解析】因为$5x^{2}+mx - 70$中$x^{2}$项系数为5，所以$n = 6$，所以$\sum_{k = 2}^{n}[(x + k)(x - k + 1)]=(x + 2)(x - 1)+(x + 3)(x - 2)+(x + 4)(x - 3)+(x + 5)(x - 4)+(x + 6)(x - 5)=x^{2}+x - 2+(x^{2}+x - 6)+(x^{2}+x - 12)+(x^{2}+x - 20)+(x^{2}+x - 30)=5x^{2}+5x - 70$. 因为$\sum_{k = 2}^{n}[(x + k)(x - k + 1)]=5x^{2}+mx - 70$，所以$m = 5$. 故选 B.

4[2024江苏连云港期末，中]观察下列等式：
$(x - 1)(x + 1)=x^{2}-1$；
$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=x^{3}-1$；
$(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{4}-1$；
$(x - 1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{5}-1$；
……
根据以上规律，判断$2^{2013}+2^{2012}+\cdots+2^{2}+2 + 1$的值的个位数是________.

答案： 3【解析】因为$2^{2013}+2^{2012}+\cdots+2^{2}+2 + 1=(2 - 1)(2^{2013}+2^{2012}+\cdots+2^{2}+2 + 1)=2^{2014}-1$，$2^{1}=2$，$2^{2}=4$，$2^{3}=8$，$2^{4}=16$，$2^{5}=32$，$2^{6}=64$，$\cdots$，所以$2^{n}$（$n$为正整数）的个位数按照2，4，8，6的顺序循环. 因为$2014÷4 = 503\cdots\cdots2$，所以$2^{2014}$的个位数是4. 因为$4 - 1 = 3$，所以$2^{2013}+2^{2012}+\cdots+2^{2}+2 + 1$的值的个位数是3.

5[较难]小萱对自己设计的运算给出如下定义：$(a,b)=(ax + b)\cdot(bx + a)$.
（1）$(1,2)$的化简结果是________；
（2）若$(a,b)\cdot(b,a)$的结果为$9x^{4}-60x^{3}+118x^{2}-60x + 9$，求$a + b$的值.

答案： 【解】
(1)$(1,2)=(x + 2)(2x + 1)=2x^{2}+x + 4x + 2=2x^{2}+5x + 2$.
故答案为$2x^{2}+5x + 2$.
(2)因为$(a,b)=(ax + b)(bx + a)$，$(b,a)=(bx + a)(ax + b)$，
所以$(a,b)(b,a)=a^{2}b^{2}x^{4}+(2a^{3}b + 2ab^{3})x^{3}+(a^{4}+4a^{2}b^{2}+b^{4})x^{2}+(2a^{3}b + 2ab^{3})x+a^{2}b^{2}$，
所以$a^{2}b^{2}=9$，即$ab=\pm3$；
$2a^{3}b + 2ab^{3}=-60$，即$2ab\cdot(a^{2}+b^{2})=-60$，
所以$ab = -3$，所以$-3×2\cdot(a^{2}+b^{2})=-60$，$a^{2}+b^{2}=10$，$(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=10+2×(-3)=4$，
所以$a + b=\pm2$.

核心素养 推理能力[较难]【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式$ax - y + 6 + 3x - 5y - 1$的值与$x$的取值无关，求$a$的值”. 通常的解题方法是把$x$，$y$看作字母、$a$看作系数合并同类项，因为代数式的值与$x$的取值无关，所以含$x$项的系数为0，即原式$=(a + 3)x-6y + 5$，所以$a + 3 = 0$，则$a = -3$.
【理解应用】（1）若关于$x$的多项式$(2x - 3)m+2m^{2}-3x$的值与$x$的取值无关，求$m$的值；
（2）已知$A=(2x + 1)(x - 1)-x(1 - 3y)$，$B=-x^{2}+xy - 1$，且$3A + 6B$的值与$x$的取值无关，求$y$的值；
【能力提升】（3）7张如图(1)的小长方形，长为$a$，宽为$b$，按照图(2)中的摆放方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)中，设右上角的面积为$S_{1}$，左下角的面积为$S_{2}$，当$AB$的长度变化时，$S_{1}-S_{2}$的值始终保持不变，求$a$与$b$的等量关系.

答案： 【解】
(1)$(2x - 3)m+2m^{2}-3x=2mx - 3m+2m^{2}-3x=(2m - 3)x+2m^{2}-3m$.
因为其值与$x$的取值无关，所以$2m - 3 = 0$，解得$m=\frac{3}{2}$.
(2)因为$A=(2x + 1)(x - 1)-x(1 - 3y)$，$B=-x^{2}+xy - 1$，所以$3A + 6B=3[(2x + 1)\cdot(x - 1)-x(1 - 3y)]+6(-x^{2}+xy - 1)=3(2x^{2}-2x + x - 1 - x + 3xy)-6x^{2}+6xy - 6=6x^{2}-6x + 3x - 3 - 3x + 9xy - 6x^{2}+6xy - 6=15xy - 6x - 9=3x\cdot(5y - 2)-9$.
因为$3A + 6B$的值与$x$的取值无关，所以$5y - 2 = 0$，解得$y=\frac{2}{5}$.
(3)设$AB = t$.
由题图可知$S_{1}=a(t - 3b)$，$S_{2}=2b(t - 2a)$，所以$S_{1}-S_{2}=a(t - 3b)-2b(t - 2a)=(a - 2b)t+ab$.
因为当$AB$的长度变化时，$S_{1}-S_{2}$的值始终保持不变，所以$S_{1}-S_{2}$的值与$t$的取值无关，所以$a - 2b = 0$，所以$a = 2b$.