《2025年初中必刷题七年级数学下册苏科版》

1[2023江苏扬州期中，中]若$x^{2}+y^{2}=(x + y)^{2}+A=(x - y)^{2}-B$，则$A$与$B$的数量关系为（ ）
A. 相等
B. 互为相反数
C. 互为倒数
D. 无法确定

答案： 1.A　[解析]因为$x^{2}+y^{2}=(x + y)^{2}+(-2xy)=(x - y)^{2}-(-2xy)$，所以$A=-2xy$，$B=-2xy$，所以$A = B$，故选A.

2[2024江苏宿迁质检，中]若$(x - 2023)^{2}+(x - 2025)^{2}=26$，则$(x - 2024)^{2}$的值是（ ）
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16

答案： 2.C　[解析]设$x - 2024 = a$. 因为$(x - 2023)^{2}+(x - 2025)^{2}=26$，所以$(a + 1)^{2}+(a - 1)^{2}=26$，所以$a^{2}+2a + 1 + a^{2}-2a + 1 = 26$，所以$2a^{2}+2 = 26$，所以$a^{2}=12$，所以$(x - 2024)^{2}=12$. 故选C.

3新考法[中]设$a$，$b$是有理数，定义$*$的一种运算如下：$a*b=(a + b)^{2}$，则下列结论：①$a*b = 0$，则$a = 0$且$b = 0$；②$a*b = b*a$；③$a*(b + c)=a*b + a*c$；④$a*b=(-a)*(-b)$，正确的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： 3.B　[解析]因为$a*b = 0$，$a*b=(a + b)^{2}$，所以$(a + b)^{2}=0$，即$a + b = 0$，所以$a$，$b$互为相反数，故①不符合题意. $a*b=(a + b)^{2}$，$b*a=(b + a)^{2}$，故②符合题意. $a*(b + c)=(a + b + c)^{2}=a^{2}+ab + ac + ab + b^{2}+bc + ac + bc + c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$，$a*b + a*c=(a + b)^{2}+(a + c)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}+a^{2}+2ac + c^{2}=2a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac$，故③不符合题意. 因为$a*b=(a + b)^{2}$，$(-a)*(-b)=(-a - b)^{2}$，$(a + b)^{2}=(-a - b)^{2}$，所以$a*b=(-a)*(-b)$，故④符合题意，因此正确的有 2 个，故选B.

4[较难]已知有理数$x$，$y$，$z$满足$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$，则$(2x - y)^{2}+(2y - z)^{2}+(2z - x)^{2}$的最大值是（ ）
A. 12
B. 20
C. 28
D. 36

答案： 4.C　[解析]因为有理数$x$，$y$，$z$满足$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$，所以$(2x - y)^{2}+(2y - z)^{2}+(2z - x)^{2}=5(x^{2}+y^{2}+z^{2})-4(xy + yz + xz)=20-2[(x + y + z)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})]=28-2(x + y + z)^{2}\leq28$，所以当$x + y + z = 0$时，$(2x - y)^{2}+(2y - z)^{2}+(2z - x)^{2}$有最大值，是 28. 故选C.

5[中]若$25x^{2}+1$加上一个单项式能成为二次三项式，且是一个完全平方式，这个单项式是________.

答案： 5. $10x$或$-10x$或$\frac{625}{4}x^{4}$ [解析]①$25x^{2}$是平方项时，$25x^{2}\pm10x + 1=(5x\pm1)^{2}$，所以可添加的项是$10x$或$-10x$；②$25x^{2}$是乘积二倍项时，$\frac{625}{4}x^{4}+25x^{2}+1=(\frac{25}{2}x^{2}+1)^{2}$，所以可添加的项是$\frac{625}{4}x^{4}$. 综上所述，可添加的项是$10x$或$-10x$或$\frac{625}{4}x^{4}$. 故答案为$10x$或$-10x$或$\frac{625}{4}x^{4}$.

6新考法[2023四川成都期中，中]已知$(x + y)^{2}$的展开式为$x^{2}+2xy + y^{2}$，即$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}$，则要想知道$(x - y)^{2}$的展开式，可以将$(x - y)^{2}$看成$[x+( - y)]^{2}$，那么可得$(x - y)^{2}=[x+( - y)]^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot( - y)+y^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}$. 根据上述材料写出$(2x - 3y - z)^{2}$的展开式：________.

答案： 6. $4x^{2}+9y^{2}+z^{2}-12xy + 6yz - 4xz$ [解析]$(2x - 3y - z)^{2}=[(2x - 3y)+(-z)]^{2}=(2x - 3y)^{2}+2\cdot(2x - 3y)\cdot(-z)+(-z)^{2}=[2x+(-3y)]^{2}-4xz + 6yz - z^{2}=4x^{2}+2\cdot2x\cdot(-3y)+(-3y)^{2}-4xz + 6yz - z^{2}=4x^{2}+9y^{2}+z^{2}-12xy + 6yz - 4xz$.

7[2024浙江衢州期末，中]若有理数$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}+4 = ab + 3b + 2c$，则$200a + 9b + c=$________.

答案： 7. 219 [解析]因为$a^{2}+b^{2}+c^{2}+4 = ab + 3b + 2c$，所以$a^{2}+b^{2}+c^{2}+4 - ab - 3b - 2c = 0$，$a^{2}-ab+\frac{b^{2}}{4}+(\frac{3b^{2}}{4}-3b + 3)+(c^{2}-2c + 1)=0$，即$(a-\frac{b}{2})^{2}+\frac{3}{4}(b - 2)^{2}+(c - 1)^{2}=0$. 因为$(a-\frac{b}{2})^{2}\geq0$，$(b - 2)^{2}\geq0$，$(c - 1)^{2}\geq0$，所以$a-\frac{b}{2}=0$，$b - 2 = 0$，$c - 1 = 0$，解得$a = 1$，$b = 2$，$c = 1$，所以$200a + 9b + c = 200\times1+9\times2+1 = 219$. 故答案为 219.

8[2024浙江宁波期末，较难]如图，已知四边形$ABCD$，四边形$ECGF$都是正方形，$\triangle BCF$的面积为5，$BG$的长为7，则阴影部分的面积是________.

答案： 8. 14.5 [解析]因为四边形$ABCD$，四边形$ECGF$都是正方形，所以$\angle A=\angle G = 90^{\circ}$，$AD = AB = BC = CD$，$CG = FG$，所以$S_{\triangle BCF}=\frac{1}{2}BC\cdot FG = 5$，所以$BC\cdot FG = 10$. 因为$BG = BC + CG = 7$，所以$BC^{2}+CG^{2}=(BC + CG)^{2}-2BC\cdot CG = 49-2\times10 = 29$，所以$S_{正方形ABCD}+S_{正方形CEFG}=29$. 因为$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}EF\cdot DE=\frac{1}{2}CG\cdot(AB - CG)=\frac{1}{2}CG\cdot AB-\frac{1}{2}CG^{2}=5-\frac{1}{2}CG^{2}$，所以阴影部分的面积为$S_{正方形ABCD}+S_{正方形CEFG}+S_{\triangle DEF}-S_{\triangle ABD}-S_{\triangle BCF}=29 + 5-\frac{1}{2}CG^{2}-\frac{1}{2}AB^{2}-5=29-\frac{1}{2}(CG^{2}+AB^{2})=29-\frac{1}{2}\times29 = 14.5$. 故答案为 14.5.

9核心素养·几何直观[较难](1)分别计算图(1)、图(2)、图(3)中阴影部分的面积，并写出关于$a$，$b$的等量关系式.
(2)尝试解决：①已知$m + n = 2$，$m^{2}+n^{2}=7$，则$mn=$________；
②已知$2a + b = 3$，$ab = 1$，求$(2a - b)^{2}$的值；
③已知$(4 - x)(5 - x)=6$，求$(4 - x)^{2}+(5 - x)^{2}$的值.
(3)填数游戏：如图(4)，把数字1~9填入构成三角形的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于21，将每边四个数字的平方和分别记为$A$，$B$，$C$，已知$A + B + C = 411$. 如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为$x$，$y$，$x + y$，求$xy$的值.

答案： 9. [解]
(1) 由题图
(1) 可得阴影部分面积既可以表示为$(a + b)^{2}$，又可以表示为$a^{2}+2ab + b^{2}$，则$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$；由题图
(2) 可得阴影部分面积既可以表示为$(a - b)^{2}$，又可以表示为$a^{2}-2ab + b^{2}$，则$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$；由题图
(3) 可得阴影部分面积既可以表示为$4ab$，又可以表示为$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}$，则$4ab=(a + b)^{2}-(a - b)^{2}$.
(2) ①因为$m + n = 2$，所以$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}=4$. 因为$m^{2}+n^{2}=7$，所以$7 + 2mn = 4$，所以$mn=-\frac{3}{2}$，故答案为$-\frac{3}{2}$.
②因为$ab = 1$，所以$8ab = 8$. 因为$(2a - b)^{2}=(2a + b)^{2}-8ab$，$2a + b = 3$，$8ab = 8$，所以$(2a - b)^{2}=3^{2}-8 = 1$.
③因为$(4 - x)-(5 - x)=-1$，所以$[(4 - x)-(5 - x)]^{2}=1$. 因为$(4 - x)(5 - x)=6$，所以$(4 - x)^{2}+(5 - x)^{2}=1+2(4 - x)(5 - x)=1 + 12 = 13$.
(3) 数字$1\sim9$的和为$1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45$.
因为各边上的四个数字的和都等于 21，所以$21\times3-45 = 18$，所以$x + y+(x + y)=18$，即$x + y = 9$.
因为每边四个数字的平方和分别记为$A$，$B$，$C$，满足$A + B + C = 411$，且$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}=285$，所以$x^{2}+y^{2}+(x + y)^{2}=126$，所以$x^{2}+y^{2}+81 = 126$，所以$x^{2}+y^{2}=45$，所以$(x + y)^{2}-2xy = 45$，所以$xy = 18$.