《2025年初中必刷题七年级数学下册苏科版》

1[2024广东茂名期末,中]已知$(x + y - 2020)\cdot(2023 - x - y)=2$，则$(x + y - 2020)^{2}(2023 - x - y)^{2}$的值为(　　)
A. 1
B. 4
C. 5
D. 9

答案： B 【解析】$(x + y - 2020)^{2}(2023 - x - y)^{2} = [(x + y - 2020)(2023 - x - y)]^{2} = 2^{2} = 4$，故选 B。

2[2024江苏苏州质检,中]若$\vert a + 3\vert+(3b - 1)^{2}+\sqrt{c + 1}=0$，则$a^{2022}\cdot b^{2022}\cdot c^{2023}=$________.

答案： -1 【解析】因为$\vert a + 3\vert + (3b - 1)^{2} + \sqrt{c + 1} = 0$，所以$a + 3 = 0$，$3b - 1 = 0$，$c + 1 = 0$，所以$a = -3$，$b = \frac{1}{3}$，$c = -1$，所以原式$= (-3)^{2022} \cdot (\frac{1}{3})^{2022} \cdot (-1)^{2023} = [(-3) \times \frac{1}{3}]^{2022} \times (-1)^{2023} = (-1)^{2022} \times (-1) = 1 \times (-1) = -1$。

3[2024浙江金华金东区期中,中]若$17^{x}=2023$，$119^{y}=2023$，则代数式$xy$与$x + y$之间的数量关系是________.

答案： $xy = x + y$ 【解析】因为$17^{x} = 2023$，$119^{y} = 2023$，所以$(17^{x})^{y} = 2023^{y}$，$(119^{y})^{x} = 2023^{x}$，所以$(17^{x})^{y} \cdot (119^{y})^{x} = 17^{xy} \cdot 119^{xy} = (17 \times 119)^{xy} = 2023^{xy}$。因为$2023^{y} \cdot 2023^{x} = 2023^{x + y}$，所以$2023^{xy} = 2023^{x + y}$，所以$xy = x + y$。故答案为$xy = x + y$。

4新考法[2024江苏南通期末,较难]阅读材料，回答下列问题:
材料一:积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$（$n$为正整数）。
材料二:等式$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$，$n(n + 1)=n^{2}+n$成立。
试求:(1)$2^{2}+4^{2}+6^{2}+\cdots +10^{2}=$________.
(2)$1\times2+2\times3+3\times4+\cdots +99\times100=$________.

答案：
(1) 220
(2) 333300 【解析】
(1)因为$(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$，所以$2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + \cdots + 10^{2} = (2\times1)^{2} + (2\times2)^{2} + (2\times3)^{2} + \cdots + (2\times5)^{2} = 2^{2} \times 1^{2} + 2^{2} \times 2^{2} + 2^{2} \times 3^{2} + \cdots + 2^{2} \times 5^{2} = 2^{2} \times (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots + 5^{2})$。因为$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$，所以原式$= 4 \times \frac{5\times(5 + 1)\times(2\times5 + 1)}{6} = 220$，故答案为 220。
(2)因为$n(n + 1) = n^{2} + n$，所以$1\times2 + 2\times3 + 3\times4 + \cdots + 99\times100 = 1\times(1 + 1) + 2\times(2 + 1) + 3\times(3 + 1) + \cdots + 99\times(99 + 1) = 1^{2} + 1 + 2^{2} + 2 + 3^{2} + 3 + \cdots + 99^{2} + 99 = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots + 99^{2} + 1 + 2 + 3 + \cdots + 99$。因为$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$，所以原式$= \frac{99\times(99 + 1)\times(2\times99 + 1)}{6} + \frac{99\times(99 + 1)}{2} = 328350 + 4950 = 333300$，故答案为 333300。

5[2024浙江杭州期中,中]一般的数学公式可以正向运用，也可以逆向运用。对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”，这几个法则的逆向运用表现为$a^{m + n}=a^{m}\cdot a^{n}$，$a^{mn}=(a^{m})^{n}$，$a^{n}b^{n}=(ab)^{n}$（$m$，$n$为正整数）。
(1)若$n$为不等式$n^{200}＞3^{300}$的解，则$n$的最小正整数为________.
(2)若$x^{a}=2$，$x^{b}=3$，求$x^{3a + 2b}$的值.
(3)计算:$2^{2023}\times(\frac{1}{6})^{2022}\times(-3)^{2021}$.

答案： 【解】
(1)因为$n^{200} = (n^{2})^{100}$，$3^{300} = (3^{3})^{100} = 27^{100}$，$n^{200} ＞ 3^{300}$，所以$n^{2} ＞ 27$，故$n$的最小正整数值为 6。故答案为 6。
(2)当$x^{a} = 2$，$x^{b} = 3$时，$x^{3a + 2b} = x^{3a} \cdot x^{2b} = (x^{a})^{3} \cdot (x^{b})^{2} = 2^{3} \times 3^{2} = 8\times9 = 72$。
(3)$2^{2023} \times (\frac{1}{6})^{2022} \times (-3)^{2021} = 2^{2} \times 2^{2021} \times (\frac{1}{6})^{2021} \times \frac{1}{6} \times (-3)^{2021} = 4\times\frac{1}{6} \times (-3\times2\times\frac{1}{6})^{2021} = 4\times\frac{1}{6} \times (-1)^{2021} = 4\times\frac{1}{6} \times (-1) = -\frac{2}{3}$。

6[2024江苏盐城大丰区调研,中]小明做了这样一道题，他的方法如下:
$3^{10}\times(\frac{1}{3})^{11}=3^{10}\times(\frac{1}{3})^{10}\times\frac{1}{3}=(3\times\frac{1}{3})^{10}\times\frac{1}{3}=1\times\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$.
请你用他的方法解下面题目。
设$M = (-\frac{1}{2013})^{2014}\times(2013)^{2015}$，$N = (-5)^{10}\times(-6)^{11}\times(-\frac{1}{30})^{10}-2008$，求$(M + N)^{2021}$的值。

答案： 【解】因为$M = (-\frac{1}{2013})^{2014} \times (2013)^{2015} = (-\frac{1}{2013} \times 2013)^{2014} \times 2013 = 2013$，$N = (-5)^{10} \times (-6)^{11} \times (-\frac{1}{30})^{10} - 2008 = [(-5) \times (-6) \times (-\frac{1}{30})]^{10} \times (-6) - 2008 = -6 - 2008 = -2014$，所以$(M + N)^{2021} = (2013 - 2014)^{2021} = -1$。

7核心素养运算能力[2024江苏扬州期末,较难]若$a^{m}=a^{n}(a＞0且a\neq1,m,n是正整数)$，则$m = n$。
试利用上述基本事实分别求下列各方程中$x$的值:
(1)$2\times8^{x}=2^{7}$;
(2)$2^{x + 1}\times3^{x + 1}=36^{x - 2}$;
(3)$2^{x + 2}+2^{x + 1}=24$。

答案： 【解】
(1)原方程可化为$2\times2^{3x} = 2^{7}$，所以$2^{3x + 1} = 2^{7}$，所以$3x + 1 = 7$，解得$x = 2$。
(2)原方程可化为$(2\times3)^{x + 1} = 36^{x - 2}$，所以$6^{x + 1} = 6^{2(x - 2)}$，所以$x + 1 = 2(x - 2)$，解得$x = 5$。
(3)原方程可化为$2\times2^{x + 1} + 2^{x + 1} = 24$，所以$2^{x + 1} \times (2 + 1) = 24$，所以$2^{x + 1} = 8$，则$2^{x + 1} = 2^{3}$，所以$x + 1 = 3$，解得$x = 2$。
关键点拨
本题考查了积的乘方法则的逆用，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键。先根据倒数的定义得出$xy = 1$，再根据积的乘方法则的逆用计算即可。
思路分析
(1)先化为同底数幂，再根据指数相等列出方程求解即可；
(2)先逆用积的乘方法则以及幂的乘方法则，然后根据指数相等列方程求解即可；
(3)先把$2^{x + 2}$化为$2\times2^{x + 1}$，然后求出$2^{x + 1}$的值为 8，再进行计算即可得解。