《2025年初中必刷题七年级数学下册苏科版》

2[2023江苏苏州相城区期末，中]不等式$\frac{2x + 1}{3}$ + 1 ＞ $\frac{ax - 1}{3}$的解集是x ＜ $\frac{5}{3}$，则a应满足（ ）
A. a ＞ 5
B. a = 5
C. a ＞ -5
D. a = -5

答案： B【解析】因为$\frac{2x + 1}{3} + 1 ＞ \frac{ax - 1}{3}$，所以$2x + 1 + 3 ＞ ax - 1$，所以$2x - ax ＞ -5$，所以$x(2 - a) ＞ -5$。因为不等式$\frac{2x + 1}{3} + 1 ＞ \frac{ax - 1}{3}$的解集是$x ＜ \frac{5}{3}$，所以$2 - a ＜ 0$，所以$x ＜ - \frac{5}{2 - a}$，所以$2 - a = -3$，解得$a = 5$。故选B。

3新考法[2023江苏无锡锡山区期末，中]对有理数x，y定义运算：x※y = ax + by，其中a，b是常数. 如果2※(-1) = -4，3※2 ＞ 1，那么a，b的取值范围是（ ）
A. a ＜ -1，b ＞ 2
B. a ＞ -1，b ＜ 2
C. a ＜ -1，b ＜ 2
D. a ＞ -1，b ＞ 2

答案： D【解析】因为$2※(-1) = -4$，所以$2a - b = -4$。① 因为$3※2 ＞ 1$，所以$3a + 2b ＞ 1$。② 由①得$b = 2a + 4$。③ 将③代入②得$3a + 2(2a + 4) ＞ 1$，解得$a ＞ -1$。由①得$a = \frac{b - 4}{2}$。因为$a ＞ -1$，所以$\frac{b - 4}{2} ＞ -1$，解得$b ＞ 2$，所以$a ＞ -1$，$b ＞ 2$，故选D。

4[中]已知关于x的不等式ax + b ＞ 0的解集为x ＜ $\frac{1}{2}$，则不等式b(x - 3) + a ＜ 0的解集是________.

答案： $x ＜ 5$【解析】由关于$x$的不等式$ax + b ＞ 0$的解集为$x ＜ \frac{1}{2}$，得$a ＜ 0$，$-\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$，所以$b ＞ 0$，$-\frac{a}{b} = 2$。解不等式$b(x - 3) + a ＜ 0$，得$x ＜ - \frac{a}{b} + 3 = 2 + 3 = 5$，所以$x ＜ 5$。

5[中]若不等式$\frac{2x + 5}{3}$ - 1 ≤ 2 - x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3(x - 1) + 5 ＞ 5x + 2(m + x)成立，则m的取值范围是________.

答案： $m ＜ - \frac{3}{5}$【解析】解不等式$\frac{2x + 5}{3} - 1 \leq 2 - x$得$x \leq \frac{4}{5}$，解关于$x$的不等式$3(x - 1) + 5 ＞ 5x + 2(m + x)$，得$x ＜ \frac{1 - m}{2}$。因为不等式$\frac{2x + 5}{3} - 1 \leq 2 - x$的解集中$x$的每一个值，都能使关于$x$的不等式$3(x - 1) + 5 ＞ 5x + 2(m + x)$成立，所以$\frac{1 - m}{2} ＞ \frac{4}{5}$，解得$m ＜ - \frac{3}{5}$。故答案为$m ＜ - \frac{3}{5}$。

6[2024江苏南京期末，中]当x取何值时，$\frac{3x - 5}{4}$ - $\frac{2x + 3}{7}$的值不大于2？

答案： 【解】由题意得$\frac{3x - 5}{4} - \frac{2x + 3}{7} \leq 2$，去分母，得$7(3x - 5) - 4(2x + 3) \leq 56$。去括号，得$21x - 35 - 8x - 12 \leq 56$，解得$x \leq 7\frac{12}{13}$。所以当$x \leq 7\frac{12}{13}$时，$\frac{3x - 5}{4} - \frac{2x + 3}{7}$的值不大于2。

7新考法[2023山东烟台期末，中]我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式.
（1）若关于x的不等式A：1 - 3x ＞ 0，不等式B：$\frac{3x + a}{2}$ ＜ 1是同解不等式，求a的值；
（2）若关于x的不等式P：(2a - b)x + 3a - 4b ＜ 0，不等式Q：$\frac{14x - 1}{2}$ ＞ $\frac{7}{2}$ - 2x是同解不等式，试求关于x的不等式(a - 4b)x + 2a - 3b ＜ 0的解集.

答案： 【解】
(1)解不等式$A:1 - 3x ＞ 0$，得$x ＜ \frac{1}{3}$。解不等式$B:\frac{3x + a}{2} ＜ 1$，得$x ＜ \frac{2 - a}{3}$。由题意得$\frac{1}{3} = \frac{2 - a}{3}$，解得$a = 1$。
思路分析
由$\frac{2x + 1}{3} + 1 ＞ \frac{ax - 1}{3}$得$x(2 - a) ＞ -5$，结合已知条件$x ＜ \frac{5}{3}$，即可得到关于$a$的方程，进而求出$a$的值。
思路分析
(1)由于$|x| ＜ 1$的解集是$-1 ＜ x ＜ 1$，$|x| ＞ 1$的解集是$x ＜ -1$或$x ＞ 1$，根据它们即可确定$|x| ＜ a(a ＞ 0)$和$|x| ＞ a(a ＞ 0)$的解集；
(2)把$x - 5$和$x - 3$分别当作一个整体，首先利用
(1)的结论可以求出$x - 5$和$x - 3$的取值范围，然后就可以分别求出$x$的取值范围；
(3)先在数轴上找出$|x - 1| + |x + 2| = 5$的解，即可得出不等式$|x - 1| + |x + 2| ＜ 5$的解集。
(2)将不等式$P:(2a - b)x + 3a - 4b ＜ 0$变形得$(2a - b)x ＜ 4b - 3a$。解不等式$Q:\frac{14x - 1}{2} ＞ \frac{7}{2} - 2x$得$x ＞ \frac{4}{9}$，所以$2a - b ＜ 0$，且$\frac{4b - 3a}{2a - b} = \frac{4}{9}$，所以$7a = 8b$，所以$4b = 3.5a$，且$a ＜ 0$，所以$a - 4b = a - 3.5a = -2.5a ＞ 0$，所以$(a - 4b)x + 2a - 3b ＜ 0$的解集为$x ＜ - \frac{1}{4}$。

8核心素养运算能力[较难]先阅读，再完成练习.
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值. 由图（1）可知|x| ＜ 1的解集是 -1 ＜ x ＜ 1；由图（2）可知|x| ＞ 1的解集是x ＜ -1或x ＞ 1.

图(1)

图(2)
解答下面的问题：
（1）不等式|x| ＜ a(a ＞ 0)的解集为________；不等式|x| ＞ a(a ＞ 0)的解集为________.
（2）①解不等式|x - 5| ＜ 3；
②解不等式|x - 3| ＞ 5.
（3）不等式|x - 1| + |x + 2| ＜ 5的解集是________.
（4）已知关于x，y的二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 5m + 4,\\x + 4y = -8m + 2\end{cases}$的解满足|x + y| ＜ 4，其中m是负整数，求m的值.

答案：
(1)$-a ＜ x ＜ a$ $x ＞ a$或$x ＜ -a$
【解】
(2)①因为$|x - 5| ＜ 3$，所以$-3 ＜ x - 5 ＜ 3$，所以$2 ＜ x ＜ 8$。
②因为$|x - 3| ＞ 5$，所以$x - 3 ＞ 5$或$x - 3 ＜ -5$，所以$x ＞ 8$或$x ＜ -2$。
(3)$|x - 1| + |x + 2| = 5$，该方程是求在数轴上到表示1的点与到表示 -2的点的距离之和等于5的点表示的$x$的值，所以方程的解为$x = 2$或$x = -3$，所以不等式$|x - 1| + |x + 2| ＜ 5$的解集为$-3 ＜ x ＜ 2$。故答案为$-3 ＜ x ＜ 2$。
(4)$\begin{cases} 2x - y = 5m + 4, &① \\ x + 4y = -8m + 2, &② \end{cases}$
① + ②得$3x + 3y = -3m + 6$，即$x + y = -m + 2$。因为$|x + y| ＜ 4$，所以$|-m + 2| ＜ 4$，即$|m - 2| ＜ 4$，所以$-4 ＜ m - 2 ＜ 4$，所以$-2 ＜ m ＜ 6$。因为$m$是负整数，所以$m = -1$。