《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

1. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$M$ 为 $BC$ 上一点，$ME \perp AM$，$ME$ 交 $AD$ 的延长线于点 $E$。若 $AB = 12$，$BM = 5$，则 $DE$ 的长为(C)

A.$18$
B.$\dfrac{25}{3}$
C.$\dfrac{109}{5}$
D.$\dfrac{96}{5}$

答案： 1. C

2. 嘉琪在学习三角形的全等时，发现了下面这种典型的“一线三等角”图形。
问题发现：(1)如图 1，在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，直线 $l$ 经过点 $A$，$BD \perp l$，$CE \perp l$，垂足分别为点 $D$，$E$。证明：$\triangle ADB \cong \triangle CEA$；
问题探究：(2)如图 2，将(1)中的条件改为：在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$，$A$，$E$ 三点都在直线 $l$ 上，并且有 $\angle BDA = \angle AEC = \angle BAC = \alpha$，其中 $\alpha$ 为任意的锐角或钝角，若 $BD = 3$，$DE = 8$，求 $CE$ 的长度；
问题拓展：(3)如图 3，过 $\triangle ABC$ 的边 $AB$，$AC$ 向外作正方形 $ABDE$ 和正方形 $ACFG$，$AH$ 是 $BC$ 边上的高，延长 $HA$ 交 $EG$ 于点 $I$，证明：$I$ 是线段 $EG$ 的中点。

答案： 2. 解：
(1)证明：$\because BD \perp$直线$l$，$CE \perp$直线$l$，$\therefore \angle BDA = \angle CEA = 90^{\circ}$，
$\because \angle BAC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAD + \angle CAE = 90^{\circ}$，
$\because \angle BAD + \angle ABD = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle CAE = \angle ABD$。
在$\triangle ADB$和$\triangle CEA$中，
$\begin{cases} \angle BDA = \angle AEC \\ \angle ABD = \angle CAE \\ AB = CA \end{cases}$
$\therefore \triangle ADB \cong \triangle CEA(AAS)$；
(2)$\because \angle BDA = \angle BAC = \alpha$，$\therefore \angle DBA + \angle BAD = \angle BAD + \angle CAE = 180^{\circ} - \alpha$，
$\therefore \angle DBA = \angle CAE$，
在$\triangle ADB$和$\triangle CEA$中，
$\begin{cases} \angle ABD = \angle CAE \\ \angle BDA = \angle AEC \\ AB = CA \end{cases}$
$\therefore \triangle ADB \cong \triangle CEA(AAS)$；
$\therefore AE = BD$，$AD = CE$，$\therefore DE = AE + AD = BD + CE$，$\because BD = 3$，$DE = 8$，
$\therefore CE = DE - BD = 8 - 3 = 5$；
(3)证明：在题图上过点$E$作$EM \perp HI$于点$M$，$GN \perp HI$的延长线于点$N$，
$\therefore \angle EMI = \angle GNI = 90^{\circ}$，由
(1)和
(2)的结论可知$EM = AH = GN$，$\therefore EM = GN$，
在$\triangle EMI$和$\triangle GNI$中，
$\begin{cases} \angle EIM = \angle GIN \\ \angle EMI = \angle GNI \\ EM = GN \end{cases}$
$\therefore \triangle EMI \cong \triangle GNI(AAS)$，$\therefore EI = GI$，
$\therefore I$是$EG$的中点.

3. 如图，$\triangle ACB$ 和 $\triangle ECD$ 都是等腰直角三角形，$CA = CB$，$CD = CE$，$\triangle ACB$ 的顶点 $A$ 在 $\triangle ECD$ 的斜边 $DE$ 上，连接 $BD$。若 $AE = 3\ cm$，$AD = 6\ cm$，则 $AB$ 的长为 $$$3\sqrt{5}$$\ cm$。

答案： 3.$3\sqrt{5}$

4. 【问题呈现】(1)如图 1，$\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 都是等边三角形，连接 $BD$，$CE$。求证：$BD = CE$；
【类比探究】(2)如图 2，$\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 都是等腰直角三角形，$\angle ABC = \angle ADE = 90^{\circ}$。连接 $BD$，$CE$。请直接写出 $\dfrac{BD}{CE}$ 的值；
【拓展提升】(3)如图 3，$\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 都是直角三角形，$\angle ABC = \angle ADE = 90^{\circ}$，且 $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DE} = \dfrac{3}{4}$。连接 $BD$，$CE$。
①求 $\dfrac{BD}{CE}$ 的值；
②延长 $CE$ 交 $BD$ 于点 $F$，交 $AB$ 于点 $G$。求 $\sin \angle BFC$ 的值。

答案： 4. 解：
(1)证明：$\because \triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等边三角形，$\therefore AD = AE$，$AB = AC$，$\angle DAE = \angle BAC = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle DAE - \angle BAE = \angle BAC - \angle BAE$，
$\therefore \angle BAD = \angle CAE$，
$\therefore \triangle BAD \cong \triangle CAE(SAS)$，$\therefore BD = CE$；
(2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$； 提示：$\because \triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等腰直角三角形，$\therefore \frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\angle DAE = \angle BAC = 45^{\circ}$，
$\therefore \angle DAE - \angle BAE = \angle BAC - \angle BAE$，
$\therefore \angle BAD = \angle CAE$，$\therefore \triangle BAD \backsim \triangle CAE$，
$\therefore \frac{BD}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$；
(3)①$\because \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DE} = \frac{3}{4}$，$\angle ABC = \angle ADE = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle ADE$，
$\therefore \angle BAC = \angle DAE$，$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} = \frac{3}{5}$，
$\therefore \angle CAE = \angle BAD$，$\therefore \triangle CAE \backsim \triangle BAD$，
$\therefore \frac{BD}{CE} = \frac{AD}{AE} = \frac{3}{5}$；
②由①得$\triangle CAE \backsim \triangle BAD$，$\therefore \angle ACE = \angle ABD$，$\because \angle AGC = \angle BGF$，
$\therefore \angle BFC = \angle BAC$，
$\therefore \sin\angle BFC = \sin\angle BAC = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{5}$，