《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

1. 【项目式学习】制作“E”形视力表.
【课题实施】根据标准对数视力表(测试距离为5m)，以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表.
【课题结论】(1)如图1，利用“E”的高度b与它到眼睛的水平距离l之比(即$\dfrac{b}{l}$)来刻画视力.(2)大小不同的“E”，只要它们这一比值(即$\dfrac{b}{l}$)相同，那么用它们测得的视力就相同.
【课题应用】问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“E”字，将②号“E”字沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点A，C，O在同一直线上为止，其中AB是①号“E”字的高度，CD是②号“E”字的高度，请用所学知识证明：此时①号“E”字与②号“E”字测试的视力相同；
问题2：小明想制作一张测试距离为3m的“E”形视力表.如图2所示，①号“E”字是标准对数视力表中视力为4.2的“E”字，其高度AB为45mm，求小明在制作视力为4.2的②号“E”字时，②号“E”字的高度CD应为多少毫米？(A，C，O在一条直线上，B，D，O在一条直线上)

答案： 1. 解：问题1：证明：由题可得AB//CD，
∴∠ABO = ∠CDO，∠BAO = ∠DCO，
∴△ABO∽△CDO，
∴$\frac{CD}{AB} = \frac{OD}{OB}$，
∴$\frac{CD}{OD} = \frac{AB}{OB} = \frac{b}{l}$，
∴①号“E”字与②号“E”字测试的视力相同；
问题2：由
(1)可得，$\frac{CD}{OD} = \frac{AB}{OB}$，
∵AB = 45mm，OB = 5m = 5000mm，
OD = 3m = 3000mm，
∴$\frac{CD}{3000} = \frac{45}{5000}$，
∴CD = 27mm.
答：②号“E”字的高度CD应为27mm.

2. 综合与实践
【定义】在$\triangle ABC$中，P是边AC上一点，若$AB^{2}=AP· AC$，则称点P是边AC关于边AB的“白银点”.
【概念理解】
(1)如图1，请利用尺规作图在$\triangle ABC$中作出边AC关于边AB的“白银点”P；(不要求写作法，保留作图痕迹)
【性质应用】
(2)如图2，在$\triangle ABC$中，若$AB = 4$，$BC = 6$，$AC = 8$，点P是边AC关于边AB的“白银点”，请求出BP的值；
【拓展提升】
(3)①如图3，在$\triangle ABC$中，若$AB = 4$，$BC = 6$，$\angle A = 2\angle C$，请求出AC的值；
②如图4，在$\triangle ABC$中，若$AB = 4$，$AC = 8$，$\angle C = 45^{\circ}-\dfrac{1}{2}\angle A$，请求出BC的值.

答案：
2. 解：
(1)如图1，点P即为所作；

(2)
∵点P是边AC关于边AB的“白银点”，
∴$AB^{2} = AP·AC$，
即$\frac{AP}{AB} = \frac{AB}{AC}$，又
∵∠A = ∠A，
∴△ABP∽△ACB，
∴$\frac{BP}{BC} = \frac{AB}{AC}$，
又
∵AB = 4，AC = 8，BC = 6，
∴$\frac{BP}{6} = \frac{4}{8}$，
∴BP = 3；
(3)①如图2，作∠BAC的平分线AD交BC于点D，

∴∠BAD = ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC，
又
∵∠BAC = 2∠C，
∴∠C = ∠CAD，
∴AD = CD，
∵∠ADB = ∠C + ∠CAD = 2∠C，
∴∠ADB = ∠BAC，
又
∵∠B = ∠B，
∴△BDA∽△BAC，
∴$\frac{BD}{BA} = \frac{BA}{BC} = \frac{AD}{AC}$，
∵AB = 4，BC = 6，
∴$BD = \frac{AB^{2}}{BC} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$，
∴AD = CD = BC - BD = 6 - $\frac{8}{3} = \frac{10}{3}$，
∴$AC = \frac{AB×AD}{BD} = \frac{4×\frac{10}{3}}{\frac{8}{3}} = 5$；
②如图3，过点B作BD⊥AC于点D，

∴∠A + ∠ABD = 90°，
∵∠C = 45° - $\frac{1}{2}$∠A，
∴90° - ∠A = 2∠C，
∴∠ABD = 2∠C，
作∠ABD的平分线交AC于点E，
∴∠ABE = ∠DBE = $\frac{1}{2}$∠ABD，
∴∠ABE = ∠DBE = ∠C，
又
∵∠A = ∠A，
∴△ABE∽△ACB，
∴$\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{BE}{BC}$，又
∵AB = 4，AC = 8，
∴AE = 2，CE = AC - AE = 8 - 2 = 6，$\frac{BE}{BC} = \frac{1}{2}$，
∴$BE = \frac{1}{2}BC$，又
∵∠C + ∠DBC = 90°，
∠DBE = ∠C，
∴∠DBE + ∠DBC = ∠DBC + ∠C = 90°，
∴BE⊥BC，
∴$BC^{2} + BE^{2} = CE^{2}$，
∴$BC^{2} + (\frac{1}{2}BC)^{2} = 6^{2}$，
解得$BC = \frac{12\sqrt{5}}{5}$