《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

例 3 [25·沧州模拟] 已知点 $ P $ 为抛物线 $ C: y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2 $ 上一点，在透明胶片上描画出包含点 $ P $ 的抛物线 $ C $ 的一段，向上平移该胶片得到点 $ P' $ 和抛物线 $ C' $，如图所示，已知抛物线 $ C' $ 的顶点 $ D $ 的纵坐标为 $ \frac{15}{8} $，且 $ DP = DP' $，则平移得到的点 $ P' $ 的纵坐标为(D)
A.$ -\frac{1}{2} $
B.$ \frac{15}{8} $
C.$ \frac{23}{8} $
D.$ \frac{35}{8} $

答案： 例3 D

练 1 如图，函数 $ y_1 = -a(x + 1)^2 + 3 $($ x ＜ 0 $)的图象过原点，将其沿 $ y $ 轴翻折，得到函数 $ y_2 $ 的图象，把函数 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的图象合并后称为函数 $ L $ 的图象。
(1)$ a $ 的值为3；函数 $ y_2 $ 的解析式为$y_{2}=-3(x - 1)^{2}+3(x＞0)$(注明 $ x $ 的取值范围)；

(2)对于函数 $ L $，当函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小时，$ x $ 的取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞1$。

答案： 练1
(1)3 $y_{2}=-3(x - 1)^{2}+3(x＞0)$
(2)$-1＜x＜0$或$x＞1$

练 2 [25·福建] 在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = ax^2 + bx - 2 $ 的图象过点 $ A(1, t) $，$ B(2, t) $。
（1）求 $ \frac{b}{a} $ 的值；
（2）已知二次函数 $ y = ax^2 + bx - 2 $ 的最大值为 $ 1 - \frac{3}{4}a^2 $。
①求该二次函数的表达式；
②若 $ M(x_1, m) $，$ N(x_2, m) $ 为该二次函数图象上的不同两点，且 $ m \neq 0 $，求证：$ \frac{(x_1 - 1)^2}{m} = \frac{x_2 - 2}{x_1 - 2} $。

答案： 练2 解：
(1)二次函数$y = ax^{2}+bx - 2$的图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，$\because$点$A(1,t)$，$B(2,t)$在该函数的图象上，$\therefore2-(-\frac{b}{2a})=-\frac{b}{2a}-1$，$\therefore-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$，$\therefore\frac{b}{a}=-3$；
(2)①由
(1)可得$b = -3a$，$\therefore$该函数的表达式为$y = ax^{2}-3ax - 2$，$\therefore$函数图象的顶点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{9}{4}a - 2)$，$\because$函数的最大值为$1-\frac{3}{4}a$，$\because a＜0$，且$\frac{9}{4}a - 2 = 1-\frac{3}{4}a^{2}$，解得$a = -1$或$a = 4$(舍去)，$\therefore b = 3$，$\therefore$该二次函数的表达式为$y=-x^{2}+3x - 2$；②证明：$\because$点$M(x_{1},m)$在函数$y=-x^{2}+3x - 2$的图象上，$\therefore m=-x_{1}^{2}+3x_{1}-2$，①知，点$M(x_{1},m)$，$N(x_{2},m)$关于直线$x=\frac{3}{2}$对称，不妨设$x_{1}＜x_{2}$，则$x_{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-x_{1}$，即$x_{1}+x_{2}=3$，$\therefore\frac{(x_{1}-1)^{2}}{m}-\frac{x_{2}-2}{m}$ $=\frac{(x_{1}-1)^{2}(x_{1}-2)-m(x_{2}-2)}{m(x_{1}-2)}$ $=\frac{(x_{1}-1)(x_{1}-2)(x_{1}-1)-m(x_{2}-2)}{m(x_{1}-2)}$ $=\frac{(x_{1}^{2}-3x_{1}+2)(x_{1}-1)-m(x_{2}-2)}{m(x_{1}-2)}$ $=\frac{-m(x_{1}-1)-m(x_{2}-2)}{m(x_{1}-2)}$ $=\frac{-m(x_{1}+x_{2}-3)}{m(x_{1}-2)}=0$，$\therefore\frac{(x_{1}-1)^{2}}{m}=\frac{x_{2}-2}{x_{1}-2}$