《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

1. 对于题目“一段抛物线 $ L:y = -x(x - 3)+c(0\leqslant x\leqslant 3) $ 与直线 $ l:y = x + 2 $ 有唯一公共点，若 $ c $ 为整数，确定所有 $ c $ 的值”，甲的结果是 $ c = 1 $，乙的结果是 $ c = 3 $ 或 $ 4 $，则 (D)

A.甲的结果正确
B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确
D.甲、乙的结果合在一起也不正确

答案： 1.D

2. [25·张家口模拟]如图，已知抛物线 $ a:y = -x^{2}+2x + m $，线段 $ b:y = x + 2(-1\leqslant x\leqslant 3) $。若抛物线 $ a $ 和线段 $ b $ 有两个交点，且两个交点均为整点(横、纵坐标均为整数的点)，则整数 $ m $ 的值为2或4。

答案： 2.2或4

3. 如图，已知抛物线 $ y = x^{2}-2x $ 与直线 $ y = -x + 2 $ 交于 $ A $，$ B $ 两点。点 $ M $ 是直线 $ AB $ 上的一个动点，将点 $ M $ 向左平移 $ 4 $ 个单位长度得到点 $ N $，若线段 $ MN $ 与抛物线只有一个公共点，则点 $ M $ 的横坐标 $ x_{M} $ 的取值范围是$-1\leq x\leq2$或$x_{M}=3$。

答案： $3.-1\leq x\leq2$或$x_{M}=3$

4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq 0) $ 的顶点为 $ A\left(1,\dfrac{3}{2}\right) $，且经过点 $ B\left(-1,\dfrac{7}{2}\right) $，交 $ y $ 轴于点 $ C $，点 $ D $ 在抛物线上，且直线 $ CD// x $ 轴。
(1)求 $ a $，$ b $，$ c $ 的值；
(2)求线段 $ CD $ 的长；
(3)过点 $ (4,0) $ 作平行于 $ y $ 轴的直线与抛物线交于点 $ E $，抛物线在点 $ C $，$ E $ 之间的部分（包括点 $ C $，$ E $）记作图象 $ W $，若图象 $ W $ 向下平移 $ m(m ＞ 0) $ 个单位长度与直线 $ AD $ 有唯一的公共点时，请求出 $ m $ 的取值范围。

答案： 4.解：
(1)设抛物线为$y=a(x-1)^{2}+\frac{3}{2}，$
把点$B(-1,\frac{7}{2})$的坐标代入，得$\frac{7}{2}= $
$a(-1-1)^{2}+\frac{3}{2}，$解得$a=\frac{1}{2}，$
$\therefore$抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}(x-1)^{2}+ $
$\frac{3}{2}=\frac{1}{2}x^{2}-x+2，$$\therefore b=-1,c=2；$
(2)把x=0代入$y=\frac{1}{2}x^{2}-x+2，$得y=
2，$\therefore$点C的坐标为$(0,2)\therefore$点D在抛物线上，且直线CD// x轴，
$\therefore2=\frac{1}{2}x^{2}-x+2，$解得$x_{1}=0,x_{2}=2，$
$\therefore$点D的横坐标为2，$\therefore CD=2；$
(3)当x=4时，$y=\frac{1}{2}×4^{2}-4+2=6，$
$\therefore$点E的坐标为(4,6).
设直线AD的解析式为y=dx+n，
$\because$点A的坐标为$(1,\frac{3}{2})，$点D的坐标为(2,2)，
$\begin{cases}\frac{3}{2}=d+n，$\\2=2d+n，$\end{cases}\begin{cases}d=\frac{1}{2}，$$\\n=1，$$\end{cases} $
$\therefore$直线AD的解析式为$y=\frac{1}{2}x+1，$
当x=0时，$y=\frac{1}{2}x+1=1，$$\therefore2-1=1，$
$\therefore$图象W向下平移1个单位长度时，点C在直线AD上.
当x=4时，$y=\frac{1}{2}x+1=3，$$\therefore6-3=3，$
$\therefore$图象W向下平移3个单位长度时，点E在直线AD上.
$\therefore$当1＜m\leq3时，图象W向下平移m个单位长度与直线AD有唯一的公共点.

5. 如图，已知抛物线 $ y = (x - h)^{2}-1 $，点 $ A(-1,2) $，反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的图象经过点 $ A $ 和点 $ B(-5,m) $。

(1)$ m = $$\frac{2}{5}$；
(2)当二次函数的图象与反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x}(-5\leqslant x\leqslant -1) $ 的图象只有一个交点时，$ h $ 的取值范围是$-\frac{\sqrt{35}}{5}-5\leq h＜\frac{\sqrt{35}}{5}-5$或$-\sqrt{3}-1＜h\leq\sqrt{3}-1$。

答案： $5.(1)\frac{2}{5}(2)-\frac{\sqrt{35}}{5}-5\leq h＜\frac{\sqrt{35}}{5}-5$或$-\sqrt{3}-1＜h\leq\sqrt{3}-1$