《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

例1 [25·邢台一模]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。
(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：

①作AC边的垂直平分线DF，使DF交AB于点D，交AC于点F；
②过点D作BC边的垂线DO，交BC于点O；在线段DO的延长线上截取OE，使OE=OD，连接CD，AE，BE，CE；
(2)在(1)的条件下，若AC=6，四边形BECD的面积为24，求A，E两点之间的距离。

答案：
解：
(1)作图如图所示；

(2)由作图可知线段 BC，DE 互相垂直平分，
$\therefore$四边形 BECD 是菱形，
$\therefore AB// CE$，
$\because \angle ACB = \angle DOB = 90^{\circ}$，$DE// AC$，
$\therefore$四边形 ACED 是平行四边形，
$\therefore AC = DE = 6$，
$\because$四边形 BECD 的面积$ = \frac{1}{2}DE · BC = 24$，
$\therefore BC = 8$.如图，过点 E 作 $EH \perp AC$ 交 AC 的延长线于点 H.
$\because \angle H = \angle HCO = \angle COE = 90^{\circ}$，
$\therefore$四边形 EHCO 是矩形，
$\therefore EH = CO =\frac{1}{2}BC = 4$，
$CH = OE =\frac{1}{2}DE = 3$，
$\therefore AH = AC + CH = 6 + 3 = 9$，
$\therefore AE = \sqrt{AH^{2} + EH^{2}} = \sqrt{9^{2} + 4^{2}} = \sqrt{97}$.

1. 如图，点P在射线BA上，请用尺规作图法，求作一个等腰三角形BPQ，使得顶点Q在射线BC上。(作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法)

答案：
解：如图，$\triangle PBQ$即为所求(答案不唯一).

2. 尺规作图：如图，在△ABC中，D为AC上一点，连接BD，请在△ABC内部找一点P，使点P到边AB，AC的距离相等，且满足∠PBD=∠PDB。(保留作图痕迹，不写作法)

答案：
解：如图，点 P 即为所求.

3. 如图，在6×6的正方形网格中，四边形ABCD的顶点都在格点上。请仅用无刻度的直尺，按要求完成下列作图。(保留作图痕迹，不写作法)
(1)在图1中作∠ABC的平分线BE；
(2)在图2中连接AC，BD交于点O，在BO上确定点M，使BM=OM。

答案：
解：
(1)如图1，射线 BE 即为所求；
(2)如图2，点 M 即为所求.