《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

例3 在平面直角坐标系中，对于点$P(x,y)$，我们把$P'(y - 1,-x + 1)$叫做点$P$的“伴随点”。已知点$A_1$的“伴随点”为$A_2$，点$A_2$的“伴随点”为$A_3$，点$A_3$的“伴随点”为$A_4$，$·s$，这样依次得到点$A_1$，$A_2$，$A_3$，$·s$，$A_n$，若点$A_1$的坐标为$(2,5)$，则点$A_{2025}$的坐标为(A)

A.$(2,5)$
B.$(4,-1)$
C.$(-2,-3)$
D.$(-4,3)$

答案： 例3A

1. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘$3$再加上$1$；若是偶数，就将该数除以$2$。反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈$1\to4\to2\to1$，这就是“冰雹猜想”。在平面直角坐标系$xOy$中，将点$(x,y)$中的$x$，$y$分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中$x$，$y$均为正整数。例如，点$(6,3)$经过第$1$次运算得到点$(3,10)$，经过第$2$次运算得到点$(10,5)$，以此类推，则点$(1,4)$经过$2025$次运算后得到点(C)

A.$(4,2)$
B.$(2,1)$
C.$(1,4)$
D.$(1,2)$

答案： 1.C

2. 如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，可求得$c$等于$3$，那么第$2025$个格子中的数为2。

答案： 2.2

3. 如图，已知$A_1(1,-\sqrt{3})$，$A_2(3,-\sqrt{3})$，$A_3(4,0)$，$A_4(6,0)$，$A_5(7,\sqrt{3})$，$A_6(9,\sqrt{3})$，$A_7(10,0)$，$A_8(11,-\sqrt{3})$，$·s$，依此规律，则点$A_{2024}$的坐标为$（2891,- \sqrt{3}）$。

答案： 3.（2891,- \sqrt{3}）提示：由题意知，
点$A_1$的坐标为(1,- \sqrt{3})，
点$A_2$的坐标为(3,- \sqrt{3})，
点$A_3$的坐标为(4,0)，
点$A_4$的坐标为(6,0)，
点$A_5$的坐标为(7,\sqrt{3})，
点$A_6$的坐标为(9,\sqrt{3})，
点$A_7$的坐标为(10,0)，
点$A_8$的坐标为(11,- \sqrt{3})，
点$A_9$的坐标为(13,- \sqrt{3})，
点$A_{10}$的坐标为(14,0)，
点$A_{11}$的坐标为(16,0)，
点$A_{12}$的坐标为(17,\sqrt{3})，
点$A_{13}$的坐标为(19,\sqrt{3})，
点$A_{14}$的坐标为(20,0)，…，
由此可见，每隔七个点，点$A_n$的横坐标增加10，且纵坐标按$-\sqrt{3}$,0,0,$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$,0循环出现，
而2024÷7=289……1,1+289×10=2891，
则点$A_{2024}$的坐标为(2891,- \sqrt{3})。

4. 在平面直角坐标系中，$\triangle AOB$为等边三角形，点$A$的坐标为$(1,0)$。把$\triangle AOB$按如图所示的方式放置，并将$\triangle AOB$进行变换：第一次变换：将$\triangle AOB$绕着原点$O$顺时针旋转$60^{\circ}$，同时边长扩大为$\triangle AOB$边长的$2$倍，得到$\triangle A_1OB_1$；第二次变换：将$\triangle A_1OB_1$绕着原点$O$顺时针旋转$60^{\circ}$，同时边长扩大为$\triangle A_1OB_1$边长的$2$倍，得到$\triangle A_2OB_2$，$·s$，依次类推，得到$\triangle A_{2023}OB_{2023}$，则$\triangle A_{2023}OB_{2023}$的边长为$2^{2023}$，点$A_{2023}$的坐标为（$2^{2022}$,$-2^{2022} × \sqrt{3}$）。

答案： 4.$2^{2023}（2^{2022},-2^{2022} × \sqrt{3}）$