《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

1. 如图，菱形 $ABCD$ 的边长为 $4$，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$AD$ 上的点，连接 $CE$，$CF$，$EF$，$AC$ 与 $EF$ 相交于点 $G$，若 $BE = AF = 1$，$\angle BAD = 120^{\circ}$，则 $S_{\triangle AGF}:S_{\triangle AGE}$ 的值为(B)

A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$1:9$

答案： 1.B

2. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle BCA = 90^{\circ}$，$BC = 1$，$AC = 2$，$E$ 为斜边 $AB$ 上的一动点，以 $EA$，$EC$ 为边作平行四边形，则线段 $ED$ 长度的最小值为(D)

A.$\sqrt{5}$
B.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： 2.D

3. 如图，$BD$ 是矩形 $ABCD$ 的对角线，$AE$ 平分 $\angle BAD$，交 $BD$ 于点 $E$，若 $DE = 2$，$\angle ADB = 30^{\circ}$，则 $BC$ 的长为$1+\sqrt{3}$ 。

答案： 3.$1+\sqrt{3}$

4. 【问题探究】
(1) 如图 $1$，在正方形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$。在线段 $AO$ 上任取一点 $P$（端点除外），连接 $PD$，$PB$。
① 求证：$PD = PB$；
② 将线段 $DP$ 绕点 $P$ 逆时针旋转，使点 $D$ 落在 $BA$ 的延长线上的点 $Q$ 处。当点 $P$ 在线段 $AO$ 上的位置发生变化时，$\angle DPQ$ 的大小是否发生变化？请说明理由；
③ 探究 $AQ$ 与 $OP$ 的数量关系，并说明理由；
【迁移探究】
(2) 如图 $2$，将正方形 $ABCD$ 换成菱形 $ABCD$，且 $\angle ABC = 60^{\circ}$，其他条件不变。试探究 $AQ$ 与 $CP$ 的数量关系，并说明理由。

答案：
4.解:
(1)①证明:$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore CD=CB$，$\angle DCA=\angle BCA=45^{\circ}$，$\because CP=CP$，$\therefore \triangle DCP\cong \triangle BCP$，$\therefore PD=PB$；
　②$\angle DPQ$的大小不发生变化，$\angle DPQ=90^{\circ}$；
　理由:如图1，过点P作$PM\perp AB$，$PN\perp AD$，垂足分别为点M，N，$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore \angle DAC=\angle BAC=45^{\circ}$，$\angle DAB=90^{\circ}$，$\therefore$四边形AMPN是矩形，$PM=PN$，$\therefore \angle MPN=90^{\circ}$，$\because PD=PQ$，$PN=PM$，$\therefore Rt\triangle DPN\cong Rt\triangle QPM(HL)$，$\therefore \angle DPN=\angle QPM$，$\because \angle QPN+\angle QPM=90^{\circ}$，$\therefore \angle QPN+\angle DPN=90^{\circ}$，$\therefore \angle DPQ=90^{\circ}$；
　　　　
　③$AQ=\sqrt{2}OP$；理由:过点P作$PE\perp AO$交AB于点E，过点E作$EF\perp OB$于点F，如图1，$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore \angle BAC=45^{\circ}$，$\angle AOB=90^{\circ}$，$\therefore \angle AEP=45^{\circ}$，四边形OPEF是矩形，$\therefore \angle PAE=\angle PEA=45^{\circ}$，$EF=OP$，$\therefore PA=PE$，$\because PD=PB$，$PD=PQ$，$\therefore PQ=PB$，过点P作$PM\perp AE$于点M，则$QM=BM$，$AM=EM$，$\therefore AQ=BE$，$\because \angle EFB=90^{\circ}$，$\angle EBF=45^{\circ}$，$\therefore BE=\sqrt{2}EF$，$\therefore AQ=\sqrt{2}OP$；
(2)$AQ=CP$；理由:$\because$四边形ABCD是菱形，$\angle ABC=60^{\circ}$，$AB=BC$，$AC\perp BD$，$DO=BO$，$\therefore \triangle ABC$是等边三角形，AC垂直平分BD，$\therefore \angle BAC=60^{\circ}$，$PD=PB$，$PD=PQ$，$\therefore PQ=PB$，
　过点P作$PE// BC$交AB于点E，过点E作$EG// AC$交BC于点G，如图2，则四边形PEGC是平行四边形，$\angle GEB=\angle BAC=60^{\circ}$，$\angle AEP=\angle ABC=60^{\circ}$，$\therefore EG=PC$，$\triangle APE$，$\triangle BEG$都是等边三角形，
$\therefore BE=EG=PC$，过点P作$PM\perp AB$于点M，则$QM=MB$，$AM=EM$，$\therefore QA=BE$，$\therefore AQ=CP$.
　　　

5. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$BD = 8$，点 $G$ 是线段 $BD$ 上的动点，点 $M$ 是线段 $CD$ 上的动点，点 $E$，$F$ 分别是线段 $AM$，$GM$ 的中点，则线段 $EF$ 的最小值是(B)

A.$1$
B.$1.5$
C.$2$
D.$2.5$

答案： 5.B

6. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$\angle C = 60^{\circ}$，$AD = 2$，连接 $BD$，$O$ 是 $BD$ 的中点，$E$ 是 $DA$ 的延长线上一点，连接 $OE$，作 $\angle EOF = 120^{\circ}$，交 $AB$ 的延长线于点 $F$，记 $BF = x$，$AE = y$，当 $x$，$y$ 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是(B)

A.$x + y$
B.$x - y$
C.$xy$
D.$\dfrac{x}{y}$

答案： 6.B