《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

1. 如图，在平面直角坐标系中，将点 $ A(1,6) $ 先向右平移 $ 3 $ 个单位长度再向下平移 $ 6 $ 个单位长度得到点 $ B $，直线 $ l_1 $ 经过点 $ A,B $，直线 $ l_2:y = kx - 3k + 2 $(其中 $ k \neq 0 $)。
(1) 在图中画出直线 $ l_1 $，并求直线 $ l_1 $ 的解析式；

(2) 直线 $ l_2:y = kx - 3k + 2 $(其中 $ k \neq 0 $)，若 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，则 $ k $ 的取值范围为$k ＞ 0$；
(3) 嘉嘉说：无论 $ k $ 为何值，将直线 $ l_1 $ 上的任意点向右平移 $ k $ 个单位长度，再向下平移 $ 2k $ 个单位长度后仍会落在直线 $ l_1 $ 上。
淇淇说：无论 $ k $ 为何值，直线 $ l_2 $ 总经过一个定点，且该定点在直线 $ l_1 $ 上。请选择其中一人的说法进行说理；
(4) ① 若直线 $ l_1,l_2 $ 与 $ y $ 轴所围成的三角形面积为 $ 6 $，求 $ k $ 的值；
② 将直线 $ l_1 $ 向下平移 $ 16 $ 个单位长度，直线 $ l_2 $ 向右平移 $ 3 $ 个单位长度，若平移后两条直线交点在第三象限，直接写出 $ k $ 的取值范围。

答案：
解：
(1)A(1,6)先向右平移3个单位长度再向下平移6个单位长度得到点B,则点B(4,0)。
设直线$l_1$的解析式为$y = px + q$，将点A，B的坐标代入上式得$\begin{cases}p + q = 6,\\4p + q = 0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}p = -2,\\q = 8.\end{cases}$
即直线$l_1$的解析式为$y = -2x + 8$，函数图象如下：

(2)$k ＞ 0$
(3)嘉嘉：设点$M(m,-2m + 8)$，则平移后坐标为$(m + k,-2m + 8 - 2k)$，当$x = m + k$时，$y = -2(m + k) + 8 = -2m + 8 - 2k$，故嘉嘉说法正确；淇淇：$y = kx - 3k + 2 = k(x - 3) + 2$，即函数过定点$(3,2)$，当$x = 3$时，$y = -2x + 8 = -6 + 8 = 2$，故定点在直线$l_1$上。故淇淇说法正确；(选择一人说理即可)
(4)①设直线$AB$交$y$轴于点$M(0,8)$，直线$l_2$交$y$轴于点$N(0,-3k + 2)$，易知直线$l_1,l_2$交于点$(3,2)$，则直线$l_1,l_2$与$y$轴所围成的三角形面积$=\frac{1}{2}× MN×3 = \frac{1}{2}×|-3k + 2 - 8|×3 = 6$，解得$k = -\frac{2}{3}$或$-\frac{10}{3}$；
②$\frac{1}{5} ＜ k ＜ \frac{5}{3}$。提示：直线$l_1,l_2$平移后的表达式分别为$y = -2x - 8,y = k(x - 3) - 3k + 2$，联立上述两个函数表达式得$-2x - 8 = k(x - 3) - 3k + 2$，解得$x = \frac{6k - 10}{k + 2},y = \frac{-20k + 4}{k + 2}$，
∵两条直线交点在第三象限，则$x = \frac{6k - 10}{k + 2} ＜ 0$且$y = \frac{-20k + 4}{k + 2} ＜ 0$，当$x ＜ 0$时，解得$-2 ＜ k ＜ \frac{5}{3}$；当$y ＜ 0$时，解得$k ＞ \frac{1}{5}$或$k ＜ -2$。
综上，$\frac{1}{5} ＜ k ＜ \frac{5}{3}$

2. 表格中的两组对应值满足一次函数 $ y = kx + b $，现画出了它的图象为直线 $ l $，如图，而某同学为观察 $ k,b $ 对图象的影响，将上面函数中的 $ k $ 与 $ b $ 交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线 $ l' $。

(1) 求直线 $ l $ 的解析式；
(2) 请在图上画出直线 $ l' $(不要求列表计算)，并求直线 $ l' $ 被直线 $ l $ 和 $ y $ 轴所截线段的长；
(3) 设直线 $ y = a $ 与直线 $ l,l' $ 及 $ y $ 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出 $ a $ 的值。

答案：
解：
(1)
∵直线$l:y = kx + b$中，当$x = -1$时，$y = -2$；当$x = 0$时，$y = 1$，$\begin{cases}-k + b = -2,\\-k×0 + b = 1.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 3,\\b = 1.\end{cases}$
直线$l$的解析式为$y = 3x + 1$；
(2)直线$l$的解析式为$y = x + 3$；如图，解$\begin{cases}y = x + 3,\\y = 3x + 1.\end{cases}$得$\begin{cases}x = 1,\\y = 4.\end{cases}$
两直线的交点为$(1,4)$，
∵直线$l$与$y$轴的交点为$(0,3)$，直线$l'$被直线$l$和$y$轴所截线段的长为$\sqrt{1^{2} + (4 - 3)^{2}} = \sqrt{2}$；

(3)$\frac{5}{2}$或$7$或$\frac{17}{5}$。提示：把$y = a$代入$y = 3x + 1$得，$a = 3x + 1$，解得$x = \frac{a - 1}{3}$；把$y = a$代入$y = x + 3$得，$a = x + 3$，解得$x = a - 3$；当$a - 3 + \frac{a - 1}{3} = 0$时，$a = \frac{5}{2}$；当$\frac{1}{2}(\frac{a - 1}{3} + 0) = a - 3$时，$a = 7$；当$\frac{1}{2}(\frac{a - 1}{3} + 0) = a - 3$时，$a = \frac{17}{5}$，
直线$y = a$与直线$l,l'$及$y$轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则$a$的值为$\frac{5}{2}$或$7$或$\frac{17}{5}$。