《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

练 3 [25·邯郸名校模拟] 如图 1 为一种半圆形摇椅，如图 2，未乘坐时，其截面是以 $ AB $ 为直径的半圆 $ O $，$ AC $，$ OD $ 及 $ BC $ 是支撑杆，点 $ C $ 在半圆上，$ OD \perp AC $，$ AC = 12\sqrt{3} dm $，$ OD = 6 dm $，$ AC $ 平行于地面 $ MN $，$ OD $ 的延长线交 $ MN $ 于点 $ P $。如图 3，乘坐时，半圆沿地面向后做无滑动滚动，$ AB $ 平行于地面 $ MN $，半圆与地面 $ MN $ 相切于点 $ Q $，$ OD $ 的延长线交半圆 $ O $ 于点 $ P' $。
(1) 求半径 $ OA $ 的长；
(2) 乘坐时(如图 3)，点 $ D $ 到地面的高度为多少？
(3) $ \overset{\frown}{P'Q} $ 的长是2π$ dm $。

答案：
练3 解：
(1)$\because OD \perp AC$，
$AC = 12\sqrt{3} dm$，
$\therefore AD = \frac{1}{2}AC = 6\sqrt{3} dm$，$\because OD = 6 dm$，
$OD \perp AC$，在$Rt \triangle OAD$中，
由勾股定理得$OA = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 6^2} = 12( dm)$；
(2)$OD = 6 dm$，$OA = 12 dm$，如图，过点$D$作$DE \perp OQ$于点$E$.$\therefore \sin \angle OAD = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$，$\therefore \angle OAD = 30°$.
$\because$半圆与地面$MN$相切于点$Q$，
$\therefore OQ \perp MN$，$\therefore \angle OQN = 90°$，$\because AB // MN$，$\therefore \angle AOQ = \angle OQN = 90°$，
$\therefore \angle AOD + \angle DOE = 90°$，$\because OD \perp AC$，
$\therefore \angle ODA = 90°$，$\therefore \angle AOD = 90°$，$\therefore \angle DOE = \angle OAD = 30°$，
$\therefore OE = OD · \cos 30° = 3\sqrt{3} dm$，$\because OQ = OA = 12 dm$，$\therefore EQ = OQ - OE = (12 - 3\sqrt{3}) dm$，$\because DE \perp OQ$，$OQ \perp MN$，
$\therefore DE // MN$，$\therefore$点$D$到地面的高度即为$EQ$的长，$\therefore$点$D$到地面的高度为$(12 - 3\sqrt{3}) dm$；

(3)$2\pi$

例 2 [25·邯郸模拟] 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = \angle ABC $，点 $ M $ 在 $ AB $ 边上，连接 $ CM $，点 $ N $ 是 $ \triangle ACM $ 的内心，连接 $ CN $，若 $ \angle NCB = 50^{\circ} $，则 $ \angle CMB = $80$ ^{\circ} $。

答案： 例2 80

练 1 如图，点 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 外接圆的圆心，点 $ I $ 是 $ \triangle ABC $ 的内心，连接 $ OB $，$ IA $。若 $ \angle CAI = 37^{\circ} $，则 $ \angle OBC $ 的度数为(C)


A.$ 37^{\circ} $
B.$ 20^{\circ} $
C.$ 16^{\circ} $
D.$ 14^{\circ} $

答案： 练1 C

练 2 [25·上海] 在锐角三角形 $ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ BC = 8 $，它的外接圆 $ O $ 的半径长为 5，若点 $ D $ 是边 $ BC $ 的中点，以点 $ D $ 为圆心的圆和 $ \odot O $ 相交，则 $ \odot D $ 的半径长可以是(B)

A.2
B.5
C.8
D.10

答案： 练2 B

练 3 [优质原创] 如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ AB = 3 $，$ AD = 5 $，将 $ \triangle ABD $ 沿 $ BD $ 翻折得到 $ \triangle A'BD $，若 $ A'D $ 经过 $ \triangle CBD $ 的内心 $ I $，则 $ DI $ 的长为2。

答案： 练3 2