《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

1. [25·沧州一模] 如图，将上层的两个关于 $ n $ 的整式相乘得到下层的整式（$ a $，$ b $ 为常数）。
(1) 求 $ a $ 和 $ b $ 的值；
(2) 记 $ M = 2n^{2}+n + b $，$ N = n - 1 $，若 $ n $ 为整数，试判断 $ M - 3N $ 的结果能否被 $ 4 $ 整除？并说明理由。

答案： 解：
(1)由题意可知$(2n+a)(n-1)=2n^{2}+(a-2)n-a=2n^{2}+n+b$，
$\therefore a-2=1,-a=b$，解得$a=3,b=-3$；
(2)能被4整除，理由如下：
$\because b=-3$，$\therefore M=2n^{2}+n-3$，$\therefore M - 3N=2n^{2}+n - 3 - 3(n - 1)=2n^{2}-2n=2n(n - 1)$，
$\because n$为整数，$\therefore n$，$(n - 1)$是两个连续的整数，其中必有一个为偶数，
$\therefore 2n(n - 1)$能被4整除，即$M - 3N$的结果能被4整除。

2. [25·唐山模拟] “字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般地表达数学规律。请观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第 $ 1 $ 个等式：$ 2^{2}=1 + 1^{2}+2 $；
第 $ 2 $ 个等式：$ 3^{2}=2 + 2^{2}+3 $；
第 $ 3 $ 个等式：$ 4^{2}=3 + 3^{2}+4 $；
第 $ 4 $ 个等式：$ 5^{2}=4 + 4^{2}+5 $；
(1) 请用此方法拆分 $ 2025^{2} $；
(2) 请你用上面的方法归纳一般结论，列出第 $ n $ 个等式（$ n $ 为正整数），并借助运算证明这个结论是正确的。

答案： 解：
(1)依据材料中等式的规律可得$2025^{2}=2024+2024^{2}+2024+2025$；
(2)依据材料中等式的规律可得第$n$个等式是$(n + 1)^{2}=n + n^{2}+n + 1$，
证明：$\because$右边$=n^{2}+2n + 1=(n + 1)^{2}$，左边$=(n + 1)^{2}$，$\therefore$左边=右边，
$\therefore(n + 1)^{2}=n + n^{2}+n + 1$成立。

3. [25·邯郸模拟] 数学课上老师给出规定：如果两个数的平方差能被 $ 4 $ 整除，我们称这个算式是“佳偶和谐式”。
小亮写出如下算式：$ 8^{2}-6^{2}=7×4 $；$ 14^{2}-12^{2}=13×4 $；$ 106^{2}-104^{2}=105×4 $。
发现：任意两个连续偶数的平方差都能被 $ 4 $ 整除，这些算式都是“佳偶和谐式”。
(1) 验证：$ 22^{2}-20^{2} $ 是“佳偶和谐式”；
(2) 证明：任意两个连续偶数的平方差都能被 $ 4 $ 整除，这些算式都是“佳偶和谐式”；
(3) 小红通过 (2) 中的结论推广得到一个命题：任意两个偶数的平方差都能被 $ 4 $ 整除，它们的算式都是“佳偶和谐式”，直接判断此命题是真命题还是假命题。

答案： 解：
(1)证明：$\because22^{2}-20^{2}=21×4$，$\therefore22^{2}-20^{2}$是“佳偶和谐式”；
(2)证明：设这两个连续偶数分别为
$2n$，$2n + 2$，
则$(2n + 2)^{2}-(2n)^{2}=(2n + 2 + 2n)(2n + 2 - 2n)=2(4n + 2)=4(2n + 1)$，
$\therefore$任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”；
(3)真命题。 提示：设任意两个偶数分别为$2a$，$2b$，$\therefore(2a)^{2}-(2b)^{2}=(2a + 2b)(2a - 2b)=4(a + b)(a - b)$，
$\therefore$任意两个偶数的平方差都能被4整除，它们的算式都是“佳偶和谐式”，$\therefore$该命题是真命题。

4. 已知 $ a = 3m - n $，$ b = m - 3n $，且 $ a + b = 8 $。
(1) 求 $ m $ 与 $ n $ 满足的数量关系；
(2) 若 $ a \geqslant 2b $，是否存在这样的 $ m $ 使得 $ mn = - 1 $，若存在，求出 $ m $ 的值，若不存在，请说明理由。

答案： 解：
(1)因为$a = 3m - n$，$b = m - 3n$，$a + b = 8$，所以$3m - n + m - 3n = 8$，
即$4m - 4n = 8$，得$m - n = 2$；
(2)不存在. 理由：假设存在这样的$m$，因为$m - n = 2$，所以$n = m - 2$，$a = 3m - n = 3m - (m - 2)=2m + 2$，$b = m - 3n = m - 3(m - 2)= - 2m + 6$，因为$a\geq2b$，
所以$2m + 2\geq2(-2m + 6)$，解得$m\geq\frac{5}{3}$，因为$mn = - 1$，所以$m(m - 2)= - 1$，
即$(m - 1)^{2}=0$，即$m = 1$，因为$m = 1＜\frac{5}{3}$，矛盾.因此不存在这样的$m$。