《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

1. 探索并完成相应的任务.

答案：
1. 解：任务一：AC
任务二：设计方案：如图，找到堤岸上与AB的交点E（测$\angle AED = 90^{\circ}$），从点E出发，沿堤岸向西走到点D，此时恰好测得$\angle EDB = 45^{\circ}$，要知道AB的距离，只需要测量出ED与AE的长度即可。理由：
$\because AB\perp ED$，$\therefore \angle BED = 90^{\circ}$，$\because \angle EDB = 45^{\circ}$，$\therefore \angle EBD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$，$\therefore \angle EDB = \angle EBD$，$\therefore BE = ED$，
$\because AB = AE + BE$，$\therefore AB = AE + ED$。（答案不唯一）

2. 【问题情境】数学兴趣小组利用特殊的等腰三角形——等边三角形展开研究.
【数学思考】如图 1，$\triangle ABC$与$\triangle ADE$都是等边三角形，连接$BD$，$CE$.
(1)当点$D$，$E$，$C$在一条直线上时，$BD$与$CE$的数量关系是$BD = CE$，$\angle BDC=$60$^{\circ}$；
【深入探究】换成两个全等的等边三角形继续研究.如图 2，$\triangle ABC$和$\triangle AMN$都是等边三角形，且$\triangle ABC\cong\triangle AMN$，$AB = 6$.
(2)连接$MB$，$CN$并分别延长交于点$F$，试猜想$MF$和$CF$的数量关系，并说明理由；
(3)如图 3，将$\triangle AMN$绕点$A$按顺时针方向旋转，当$\angle MAB = 90^{\circ}$时，连接$CN$，$BM$，$CM$，求$\triangle ACM$的面积.

答案：
2. 解：
(1)$BD = CE$ 60 提示：$\because \triangle ABC$与$\triangle ADE$都是等边三角形，$\therefore AD = AE$，$AB = AC$，$\angle DAE = \angle BAC = 60^{\circ}$，$\therefore \angle BAD = \angle CAE$，
$\therefore \triangle BAD\cong\triangle CAE(SAS)$，
$\therefore BD = CE$，$\angle ADB = \angle AEC = 180^{\circ} - \angle AED = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$。
$\therefore \angle BDC = \angle ADB - \angle ADE = 120^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$；
(2)$MF = CF$。理由如下：$\because \triangle ABC$和$\triangle AMN$都是等边三角形，$\therefore AB = AC$，$AM = AN$，$\angle ABC = \angle ANM = 60^{\circ}$，$\angle BAC = \angle MAN$，$\therefore \angle NAC = \angle MAB$，
在$\triangle MAB$和$\triangle NAC$中，
$\begin{cases}AB = AC\\\angle MAB = \angle NAC\\AM = AN\end{cases}$
$\therefore \triangle MAB\cong\triangle NAC(SAS)$，
$\therefore \angle MBA = \angle NCA$，由$\triangle ABC\cong\triangle AMN$有$AN = AC$，$\therefore \angle NCA = \angle CNA$，
$\therefore \angle MBA = \angle CNA$，
$\because \angle ABC = \angle ANM = 60^{\circ}$，
$\therefore 180^{\circ} - (\angle MBA + \angle ABC) = 180^{\circ} - (\angle CNA + \angle ANM)$，$\therefore \angle FBC = \angle FNM$，
$\because \triangle ABC\cong\triangle AMN$，
$\therefore BC = MN$，
在$\triangle FBC$和$\triangle FNM$中，
$\begin{cases}\angle FBC = \angle FNM\\\angle F = \angle F\\BC = NM\end{cases}$
$\therefore \triangle FBC\cong\triangle FNM(AAS)$，
$\therefore MF = CF$；
(3)如图，过点M作$MH\perp CA$交CA的延长线于点H，$\because \triangle ABC$和$\triangle AMN$都是等边三角形，且$\triangle ABC\cong\triangle AMN$，$AB = 6$，$\therefore AM = AN = AB = AC = 6$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，$\angle BAM = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle MAC = 150^{\circ}$，$\therefore \angle MAH = 30^{\circ}$，
$\therefore MH = \frac{1}{2}AM = 3$，$\therefore \triangle ACM$的面积$= \frac{1}{2}AC· MH = \frac{1}{2}×6×3 = 9$。

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