《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

1. 请阅读以下材料，并完成相应的任务.
《义务教育数学课程标准(2022 年版)》在尺规作图版块给出必学要求:会过圆外一个点作圆的切线.数学老师对此要求进行了数学语言表达:“如图 1,已知$\odot O$及$\odot O$外一点$P$,求作直线$PM$,使$PM$与$\odot O$相切于点$M$.”
李明所在数学小组经过思考与探索,给出了两种作法:

任务:
(1)“作法一”中的依据是指;
(2)请将“作法二”中的证明过程补充完整;
(3)在图 3 中,记$PM$交$AF$于点$K$,若$\odot O$的半径为$3$,$OP = 9$,求$KP$的长.

答案：
1.解:
(1)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
(2)证明:根据题意，得$AF \perp OP$，$OA = OM$，$OF = OP$，$\therefore \angle OAF = 90^{\circ}$.
在$\triangle OFA$和$\triangle OPM$中，
$\begin{cases}OF = OP \\ \angle FOA = \angle POM \\ OA = OM \end{cases}$
$\therefore \triangle OFA \cong \triangle OPM(SAS)$ $\therefore \angle OAF = \angle OMP = 90^{\circ}$ $\therefore OM \perp PM$，$\because OM$是$\odot O$的半径，$\therefore$直线$PM$是$\odot O$的切线；
(3)如图，$\because OM = OA = 3$，$OP = 9$，
$\therefore AP = 6$ $\because PM$是$\odot O$的切线，
$\therefore \angle OMP = 90^{\circ}$
$\therefore PM = \sqrt{OP^{2} - OM^{2}} = 6\sqrt{2}$
在$Rt \triangle OPM$中，$\cos\angle OPM = \frac{PM}{OP} = \frac{6\sqrt{2}}{9} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
在$Rt \triangle AKP$中，$\because \cos\angle APK = \frac{AP}{KP} = \cos\angle OPM = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\therefore KP = \frac{AP}{\cos\angle APK} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$