《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

例 1 [25·沧州一模]用三块边长不同的正方形纸片(甲、乙、丙)和一个面积为$2\sqrt{2}$的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为 2，则一块“甲”纸片的边长为(B)


A.$2\sqrt{2}$
B.$2 + 2\sqrt{2}$
C.3
D.$4 + 2\sqrt{2}$

答案： 例1 B

题型解法

答案： （根据具体题目选择对应的选项，由于没有具体题目，无法给出确切选项，此处用X代替）X

练 1 [25·石家庄桥西区一模]已知$k = \sqrt{2}×(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})$，则$k$的值为(D)

A.$3\sqrt{2}$
B.4
C.$7\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$

答案： 练1 D

练 2 若$m$为实数，在“$(\sqrt{5}+2)□ m$”的“$□$”中添上一种运算符号(在“$+$”“$-$”“$×$”“$÷$”中选择)后，其运算的结果为有理数，则$m$的值不可能是(C)

A.$\sqrt{5}+2$
B.$\sqrt{5}-2$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2 - \sqrt{5}$

答案： 练2 C

练 3 计算：(1)[25·云南]$(\pi - 2)^0 - (\sqrt{3})^2 + | - 6| + (\dfrac{1}{5})^{-1} - 2\cos60^{\circ}$；
(2)[25·上海]$\dfrac{4}{\sqrt{5}+1}-\sqrt{20}+|2 - \sqrt{5}| + (\dfrac{1}{2})^{-3}$.

答案： 练3 解：
(1)原式$=1-3+6+5-2×\frac{1}{2}=1-3+6+5-1=8;$
(2)原式$=\frac{4(\sqrt{5}-1)}{5-1}-2\sqrt{5}+\sqrt{5}-2+8=\sqrt{5}-1-2\sqrt{5}+\sqrt{5}-2+8=5.$

例 2 [24·河北 18 题]已知$a$，$b$，$n$均为正整数.
(1)若$n ＜ \sqrt{10} ＜ n + 1$，则$n=$3；
(2)若$n - 1 ＜ \sqrt{a} ＜ n$，$n ＜ \sqrt{b} ＜ n + 1$，则满足条件的$a$的个数总比$b$的个数少2个.

答案： 例2
(1)3
(2)2
提示：
(1)
∵$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}，$
∴3＜\sqrt{10}＜4，
∵n＜\sqrt{10}＜n+1,n为正整数，
∴n=3;
(2)
∵n-1＜\sqrt{a}＜n,
∴$(n-1)^2＜a＜n^2，$
∴a的个数为$n^2-(n-1)^2-1=n^2-n^2+$
2n-1=2n-2,
∵n＜\sqrt{b}＜n+1，
∴b的个数为$(n+1)^2-n^2-1=n^2+2n+1-$
$n^2-1=2n,$
∵2n-(2n-2)=2,
∴满足条
件的a的个数总比b的个数少2个.

练 1 [25·天津]估计$1 + \sqrt{6}$的值在(C)

A.1 和 2 之间
B.2 和 3 之间
C.3 和 4 之间
D.4 和 5 之间

答案： 练1 C

练 2 [25·邯郸模拟]$m$，$n$是连续的两个整数，若$m ＜ \sqrt{7} ＜ n$，则$m + n$的值为5.

答案： 练2 5

练 3 已知$a$是$\sqrt{10}$的整数部分，$b$是它的小数部分，求$(-a)^3 + (b + 3)^2$的值.

答案： 练3 解：
∵$3＜\sqrt{10}＜4，$
∴$a=3,b=\sqrt{10}-3,$
∴原式$=(-3)^3+$
$(\sqrt{10}-3+3)^2=-27+10=-17.$