《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

例3 [25·石家庄长安区一模]已知整式$P = a^{2}+4a$，$Q = a - 1$.
(1)若$M = P - 8Q$，求整式$M$；
(2)对任意实数$a$，判断整式$M$的值能为负数吗？说明理由.
备考建议：涉及代数式的求值问题时，一定要先化简再代入求值，避免计算出错.

答案： 例3 解：
(1)
∵$P=a^{2}+4a$，$Q=a - 1$，
∴$M=$ $P - 8Q=(a^{2}+4a)-8(a - 1)=a^{2}+4a - 8a + 8=$ $a^{2}-4a + 8$；
(2)对任意实数$a$，整式$M$的值不能为负数，理由：由
(1)知，$M=a^{2}-4a + 8=(a - 2)^{2}+4＞0$，
∴对任意实数$a$，整式$M$的值不能为负数.

1. [25·保定名校联考]定义新运算：对于任意$a$，$b$都有$a\#b = a(a - b)$，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如：$2\#1 = 2×(2 - 1) = 2$.
(1)计算$(m + n)\#2n$；
(2)若$2\#5x$的值是$0$，求$x$的值.

答案： 1.解：
(1)原式$=(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$；
(2)根据新定义得出一元一次方程为$2(2 - 5x)=0$，解得$x=\frac{2}{5}$，即$x$的值为$\frac{2}{5}$.

2. [25·石家庄模拟]老师给出一道数学题，由学生接力完成分式的计算，如图所示，每人只能看到前一人传过来的式子.

(1)这个“接力游戏”中计算错误的同学有乙、丁；
(2)请你写出正确的解答过程；
(3)从“$-1$，$0$，$1$”中选择一个合适的数作为$a$的值，代入求该分式的值.

答案： 2.解：
(1)乙、丁
(2)原式$=[\frac{a^{2}-2a}{a + 1}-\frac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1}]÷\frac{a}{a + 1}=\frac{a^{2}-2a-(a^{2}-1)}{a + 1}÷\frac{a}{a + 1}=\frac{-2a + 1}{a + 1}×\frac{a + 1}{a}=\frac{-2a + 1}{a}$；
(3)由于$a + 1\neq0$，$a\neq0$，所以$a\neq - 1$，$a\neq0$，所以$a = 1$；当$a = 1$时，原式$=\frac{-2×1 + 1}{1}=-1$.

3. 如图1，2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式.
(1)求代数式$M$；
(2)嘉嘉说，无论$x$取什么值，$M$的值一定大于$N$的值，嘉嘉的说法是否正确？请通过计算说明.

答案： 3.解：
(1)由题意得$M = 2x^{2}-5x + 1-(x^{2}-3x - 2)=2x^{2}-5x + 1 - x^{2}+3x + 2=x^{2}-2x + 3$；
(2)正确，$N=(x - 1)(x + 1)-2(x + 1)+5=x^{2}-1 - 2x - 2 + 5=x^{2}-2x + 2$， $∴M - N=x^{2}-2x + 3-(x^{2}-2x + 2)=x^{2}-2x + 3 - x^{2}+2x - 2 = 1＞0$，$∴M＞N$.