《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

例 2 [24·河北 3 题]如图,$AD$与$BC$交于点$O$,$\triangle ABO$和$\triangle CDO$关于直线$PQ$对称,点$A,B$的对称点分别是点$C,D$.下列不一定正确的是(A)

A.$AD \perp BC$
B.$AC \perp PQ$
C.$\triangle ABO \cong \triangle CDO$
D.$AC // BD$

答案： 例2 A

练 1 [25·邯郸模拟]如图,$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$关于直线$MN$对称,$BB'$交$MN$于点$O$,下列结论:①$AB = A'B'$;②$OB = OB'$;③$AA' // BB'$;④$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$,其中错误的有(C)

A.$4$个
B.$1$个
C.$0$个
D.$2$个

答案： 练1 C

练 2 [优质原创]折纸是同学们喜欢的手工活动之一,通过折纸我们可以得到许多美丽的图形,同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.矩形$ABCD$中,$AB = 4$,$AD = 3$,点$P$在边$CD$上,且不与点$C,D$重合,直线$AP$与$BC$的延长线交于点$E$.
(1)如图 1,当点$P$是$CD$的中点时,猜想$\triangle ADP$与$\triangle ECP$的关系为△ADP≌△ECP,证明你的结论;
(2)如图 2,将$\triangle ADP$沿直线$AP$折叠得到$\triangle AD'P$,点$D'$落在矩形$ABCD$的内部,延长$PD'$交直线$AB$于点$F$.
①猜想$AF$与$PF$的数量关系为AF=PF,在(1)条件下可求$AF =$$\frac{13}{4}$;
②连接$D'C$,求$\triangle PCD'$周长的最小值.

答案：
练2　解:
(1)△ADP≌△ECP
证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//CB,
∴∠DAP=∠E,∠D=∠DCE,
∵点P是DC的中点，
∴DP=CP,
∴△ADP≌△ECP(AAS);
(2)①AF=PF　$\frac{13}{4}$
提示:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//DC,
∴∠APD=∠FAP,
由折叠得∠APD=∠APF,
∴∠FAP=∠APF，FA=FP,
矩形ABCD中,AB=4,AD=3,
∴DC=AB=4,
∵点P是DC的中点，
∴DP=CP=2,
∵将△ADP沿直线AP折叠得到△AD'P,
∴AD'=AD=3,PD'=PD=2,
∠D=∠AD'P=∠AD'F=90°,
设FA=x,
则FP=x，FD'=x−2,
在Rt△AD'F中,AF²=D'F²+D'A²,
∴x²=(x−2)²+3²,解得x=$\frac{13}{4}$,
即AF=$\frac{13}{4}$;
②
∵将△ADP沿直线AP折叠得到△AD'P,
∴AD'=AD=3,PD'=PD,
∴△PCD'的周长=CP+PD'+CD'=CD+CD'=4+CD',
如图,连接AC，
∵AD'+D'C＞AC,
∴当点D'恰好位于对角线AC上时,CD'+AD'最小,
在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,
∴AC=$\sqrt{3^{2}+4^{2}}$=5,
∴CD'的最小值=AC−AD'=5−3=2,
∴△PCD'周长的最小值=4+CD'=4+2=6.

例 3 在某次数学探究活动中,小明将一张斜边长为$4$的等腰直角三角形$ABC(\angle A = 90^{\circ})$硬纸片剪切成如图所示的四块(其中$D,E,F$分别是$AB,AC,BC$的中点,$G,H$分别为$DE,BF$的中点),小明将这四块纸片重新组合拼成四边形(相互不重叠,不留空隙),则所能拼成的四边形中周长的最小值为8,最大值为8+2$\sqrt{2}$.

答案： 例3　8　　8+2$\sqrt{2}$