《2026年全优中考系统总复习数学河北专版》

例 4 [25·石家庄名校一模] 博物院是一座城市重要的公共文化窗口.十一假期，某学习小组计划到河北省博物院参观学习，该小组原计划花 360 元请讲解人员进行解说，后来临时增加 3 名同学，总讲解费增加了 60 元，但人均费用变为原来的 $\frac{14}{15}$.
(1)求该学习小组的实际参观人数；
(2)参观结束后，同学们到文创店购买“长信宫灯”和“错金铜博山炉”纪念卡，已知每套“长信宫灯”和“错金铜博山炉”纪念卡的单价分别为 10 元和 8 元，若该小组每名参观的同学都购买了一套纪念卡，且该小组购买纪念卡的总费用不超过 140 元，求最多购买多少套“长信宫灯”纪念卡.

答案： 解：
(1)设该学习小组的实际参观人数为$x$人，根据题意得$\frac{360 + 60}{x} = \frac{360}{x - 3} × \frac{14}{15}$，解得$x = 15$，经检验，$x = 15$是所列方程的解，且符合题意.
答：该学习小组的实际参观人数为15人；
(2)设购买$y$套“长信宫灯”纪念卡，则购买$(15 - y)$套“错金铜博山炉”纪念卡，
根据题意得$10y + 8(15 - y) \leq 140$，解得$y \leq 10$，$\therefore y$的最大值为10.
答：最多购买10套“长信宫灯”纪念卡.

1. [25·河北 22 题] 一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀.在 $0 \sim 100^{\circ}C$ (本题涉及的温度均在此范围内)，原长为 $l$ m 的铜棒、铁棒受热后，伸长量 $y$ (m)与温度的增加量 $x(^{\circ}C)$ 之间的关系均为 $y = alx$，其中 $a$ 为常数，称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数 $a_{Cu} = 1.7 × 10^{-5}$ (单位：$^{\circ}C$)；原长为 2.5 m 的铁棒从 $20^{\circ}C$ 加热到 $80^{\circ}C$ 伸长了 $1.8 × 10^{-3}$ m.
(1)原长为 0.6 m 的铜棒受热后升高 $50^{\circ}C$，求该铜棒的伸长量(用科学记数法表示)；
(2)求铁的线膨胀系数 $a_{Fe}$；若原长为 1 m 的铁棒受热后伸长 $4.8 × 10^{-4}$ m，求该铁棒温度的增加量；
(3)将原长相等的铜棒和铁棒从 $0^{\circ}C$ 开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高 $20^{\circ}C$，求该铁棒温度的增加量.

答案： 解：
(1)$1.7 × 10^{-5} × 0.6 × 50 = 5.1 × 10^{-4}(m)$，即该铜棒的伸长量为$5.1 × 10^{-4}m$；
(2)$a_{Fe} = \frac{1.8 × 10^{-3}}{2.5 × (80 - 20)} = 1.2 × 10^{-5}$，
$4.8 × 10^{-4} ÷ (1.2 × 10^{-5} × 1) = 40(^{\circ}C)$，
即该铁棒温度的增加量为$40^{\circ}C$；
(3)设铜棒增加的温度为$x^{\circ}C$，
则铁棒增加的温度为$(x + 20)^{\circ}C$，
设它们的长度均为$l$，
由题意得$1.7 × 10^{-5}lx = 1.2 × 10^{-5}l(x + 20)$，
整理得$17x = 12x + 240$，解得$x = 48$，
则$x + 20 = 48 + 20 = 68$，
即该铁棒温度的增加量为$68^{\circ}C$.