《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 已知$\sin 25.3^{\circ}=a$，则$\cos 64.7^{\circ}$等于(A)

A.$a$
B.$-a$
C.$a^{2}$
D.$\sqrt{1 - a^{2}}$

答案： 1.A $\cos 64.7^{\circ}=\cos(90^{\circ}-25.3^{\circ})=\sin 25.3^{\circ}=a$．

2. 若$\alpha \in \left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)$，则$\sqrt{1 - \sin^{2}\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right)} =$(B)

A.$\sin \alpha$
B.$-\sin \alpha$
C.$\cos \alpha$
D.$-\cos \alpha$

答案： 2.B $\because a\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$，$\therefore \sin a＜0$，$\therefore\sqrt{1-\sin^{2}(\frac{3\pi}{2}-a)}=$
$\sqrt{1-\cos^{2}a}=\sqrt{\sin^{2}a}=-\sin a$．

3. 如图，点$A$为单位圆上一点，$\angle xOA = \dfrac{\pi}{4}$，已知点$A$沿单位圆按逆时针方向旋转$\alpha$到点$B\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)$，则$\sin \left(\alpha - \dfrac{\pi}{4}\right)$的值为(C)

A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{4}{5}$
C.$-\dfrac{3}{5}$
D.$-\dfrac{4}{5}$

答案： 3.C 根据题意，利用三角函数的定义，可得$\cos(a+\frac{\pi}{4})=\frac{3}{5}$，所
以$\sin(a-\frac{\pi}{4})=\sin[(a+\frac{\pi}{4})-\frac{\pi}{2}]=-\cos(a+\frac{\pi}{4})$
$=-\frac{3}{5}$．

4. (多选)已知$x \in \mathbf{R}$，则下列等式恒成立的是(AB)

A.$\sin (3\pi - x) = \sin x$
B.$\sin \dfrac{\pi - x}{2} = \cos \dfrac{x}{2}$
C.$\cos \left(\dfrac{5\pi}{2} + 3x\right) = \sin 3x$
D.$\cos \left(\dfrac{3\pi}{2} + 2x\right) = -\sin 2x$

答案： 4.AB $\sin(3\pi-x)=\sin(\pi-x)=\sin x$，A正确；$\sin\frac{\pi-x}{2}=$
$\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2})=\cos\frac{x}{2}$，B正确；$\cos(\frac{5\pi}{2}+3x)=$
$\cos(\frac{\pi}{2}+3x)=-\sin 3x$，C错误；$\cos(\frac{3\pi}{2}+2x)=\sin 2x$，D
错误．

5. 已知$0 ＜ \alpha ＜ \dfrac{\pi}{2}$，且$\sin \left(\alpha - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{4}$，则$\sin \left(\dfrac{5\pi}{6} - \alpha\right) =$(C)

A.$-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$
B.$-\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{15}}{4}$
D.$\dfrac{1}{4}$

答案： 5.C 因为$0＜a＜\frac{\pi}{2}$，所以$-\frac{\pi}{3}＜a-\frac{\pi}{3}＜\frac{\pi}{6}$，又
$\sin(a-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{4}$，所以$\cos(a-\frac{\pi}{3})=\sqrt{1-(\frac{1}{4})^{2}}=$
$\frac{\sqrt{15}}{4}$，所以$\sin(\frac{5\pi}{6}-a)=\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}-a)=\cos(\frac{\pi}{3}-$
$a)=\cos(a-\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{15}}{4}$

6. 已知函数$f(x) = \dfrac{\cos (\pi - x)}{\sin^{2}(\pi - x) - 1}$，若$f\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \dfrac{3}{2}$，则$\sin \alpha =$(A)

A.$-\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$

答案： 6.A 函数$f(x)=\frac{\cos(\pi-x)}{\sin^{2}(\pi-x)-1}=\frac{-\cos x}{\sin^{2}x-1}=\frac{-\cos x}{-\cos^{2}x}=\frac{\cos x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos x}$，因为$f(\frac{\pi}{2}+a)=\frac{3}{2}$，所以$\frac{1}{\cos(\frac{\pi}{2}+a)}=\frac{1}{-\sin a}=$
$\frac{3}{2}$，解得$\sin a=-\frac{2}{3}$．

7. 若$\cos \alpha = \dfrac{1}{3}$，且$\alpha$是第四象限角，则$\sin \alpha =$$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\cos \left(\alpha + \dfrac{3\pi}{2}\right) =$$\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

答案： 7.$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
解析 因为$a$是第四象限角，所以$\sin a=-\sqrt{1-\cos^{2}a}=$
$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$，于是$\cos(a+\frac{3\pi}{2})=-\cos(a+\frac{\pi}{2})=\sin a=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

8. (2025·山东济宁一中月考)若$\sin \left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = \dfrac{3}{7}$，则$\cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) =$$\frac{40}{49}$。

答案： 8.$\frac{40}{49}$
解析 $\sin(\frac{\pi}{2}+\theta)=\cos\theta=\frac{3}{7}$，则$\cos^{2}(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin^{2}\theta=$
$1-\cos^{2}\theta=1-\frac{9}{49}=\frac{40}{49}$

9. 化简：$\dfrac{\sin (540^{\circ} - x)}{\cos (900^{\circ} - x)} · \dfrac{\tan (810^{\circ} - x)}{\tan (450^{\circ} - x)} · \dfrac{\cos (360^{\circ} - x)}{\sin (-x)}$。

答案： 9.解 原式$=\frac{\sin(180^{\circ}-x)}{\cos(180^{\circ}-x)}·\frac{\tan(90^{\circ}-x)}{\tan(90^{\circ}-x)}·\frac{\cos(-x)}{\sin(-x)}=$
$\frac{\sin x}{-\cos x}·\frac{\cos x}{-\sin x}=1$．