《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 求证：当$k = 2$或$3$时，$\frac{\tan(k\pi - \alpha)\tan(k\pi + \alpha)}{\cos(2k\pi - \alpha)\sin[(2k + 1)\pi + \alpha]} = \frac{\sin\alpha}{\cos^{3}\alpha}$。

答案： 10.证明 当$k=2$时，左边$=\frac{\tan(2\pi-\alpha)\tan(2\pi+\alpha)}{\cos(4\pi-\alpha)\sin(5\pi+\alpha)}=\frac{(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^{2}}{-\tan\alpha·\tan\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}·\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\cos\alpha·(-\sin\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{\cos^{3}\alpha}$，
当$k=3$时，左边$=\frac{\tan(3\pi-\alpha)\tan(3\pi+\alpha)}{\cos(6\pi-\alpha)\sin(7\pi+\alpha)}=\frac{(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^{2}}{-\tan\alpha·\tan\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}·\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\cos\alpha·(-\sin\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{\cos^{3}\alpha}$，
综上，$k=2$或$k=3$，等式成立。

11. (2025·浙江金华期中)已知$\tan\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{3}$，则$\tan\left(\frac{2\pi}{3} + \alpha\right)$等于(B)

A.$\frac{1}{3}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
D.$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

答案： 11.B 因为$\tan(\frac{2\pi}{3}+\alpha)=\tan[\pi-(\frac{\pi}{3}-\alpha)]=-\tan(\frac{\pi}{3}-\alpha)$，又$\tan(\frac{\pi}{3}-\alpha)=\frac{1}{3}$，所以$\tan(\frac{2\pi}{3}+\alpha)=-\frac{1}{3}$。

12. 已知$\tan(5\pi + \alpha) = 2$，则$\frac{\sin(\alpha - 3\pi) + \cos(\pi - \alpha)}{\sin(-\alpha) - \cos(\pi + \alpha)}$的值为3。

答案： 12.3
解析 由$\tan(5\pi+\alpha)=2$，得$\tan\alpha=2$，所以$\frac{\sin(\alpha-3\pi)+\cos(\pi-\alpha)}{-\sin(-\alpha)-\cos(\pi+\alpha)}=\frac{-\sin\alpha-\cos\alpha}{-\sin\alpha+\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=3$。

13. 已知$\alpha$为第四象限角，化简$\sqrt{\frac{1 + \sin(\pi - \alpha)}{1 + \sin(\pi + \alpha)}} + \sqrt{\frac{1 - \sin(2\pi + \alpha)}{1 - \sin(-\alpha)}} =$$\frac{2}{\cos\alpha}$。

答案： 13.$\frac{2}{\cos\alpha}$
解析 因为$\alpha$为第四象限角，所以$\sqrt{\frac{1+\sin(\pi-\alpha)}{1+\sin(\pi+\alpha)}}+\sqrt{\frac{1-\sin(2\pi+\alpha)}{1-\sin(-\alpha)}}=\sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}}+\sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}}=\frac{\sqrt{(1+\sin\alpha)^{2}}}{\sqrt{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}}+\frac{\sqrt{(1-\sin\alpha)^{2}}}{\sqrt{(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)}}=\frac{|1+\sin\alpha|}{|\cos\alpha|}+\frac{|1-\sin\alpha|}{|\cos\alpha|}=\frac{1+\sin\alpha+1-\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2}{\cos\alpha}$。

14. 是否存在$\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，$\beta \in (0, \pi)$，使等式$\sin(3\pi - \alpha) = \sqrt{2}\sin\beta$，$\sqrt{3}\cos(-\alpha) = -\sqrt{2}\cos(\pi + \beta)$同时成立？若存在，求出$\alpha$，$\beta$的值；若不存在，请说明理由。

答案： 14.解 存在，此时$\alpha=\frac{\pi}{4},\beta=\frac{\pi}{6}$。假设存在角$\alpha,\beta$满足条件。
由已知条件可得$\begin{cases}\sin\alpha=\sqrt{2}\sin\beta,\\\sqrt{3}\cos\alpha=\sqrt{2}\cos\beta,\end{cases}$
由$①^{2}+②^{2}$，得$\sin^{2}\alpha+3\cos^{2}\alpha=2$。
$\therefore\sin^{2}\alpha=\frac{1}{2}$，$\therefore\sin\alpha=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\because\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，$\therefore\alpha=\pm\frac{\pi}{4}$。
当$\alpha=\frac{\pi}{4}$时，由$②$式知$\cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又$\beta\in(0,\pi)$，$\therefore\beta=\frac{\pi}{6}$，此时$①$式成立；
当$\alpha=-\frac{\pi}{4}$时，由$②$式知$\cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又$\beta\in(0,\pi)$，$\therefore\beta=\frac{\pi}{6}$，此时$①$式不成立，故舍去。
$\therefore$存在$\alpha=\frac{\pi}{4},\beta=\frac{\pi}{6}$满足条件。

15. 底与腰的长度之比为黄金分割比$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$的等腰三角形称为黄金三角形，其中顶角为$36^{\circ}$的黄金三角形被认为是最美的三角形。据此可得$\cos 144^{\circ}$的值为(B)

A.$\frac{4 + \sqrt{5}}{8}$
B.$-\frac{1 + \sqrt{5}}{4}$
C.$-\frac{3 + \sqrt{5}}{8}$
D.$\frac{1 - 2\sqrt{5}}{4}$

答案：
15.B 如图所示，设$\angle BAC=36^{\circ}$，$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，

不妨设$AB=4$，则$BC=2(\sqrt{5}-1)$，
取$BC$的中点$D$，连接$AD$，过点$B$作$BE\perp AC$于点$E$，
则$BD=DC=\sqrt{5}-1$，$AD\perp BC$，
由勾股定理得，
$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{16-(\sqrt{5}-1)^{2}}=\sqrt{10+2\sqrt{5}}$，
则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}$，
则$BE=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AC}=\frac{(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}$，
由勾股定理得，
$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{16-\frac{(\sqrt{5}-1)^{2}(10+2\sqrt{5})}{4}}=\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{(1+\sqrt{5})^{2}}=1+\sqrt{5}$，
所以$\cos\angle BAC=\cos36^{\circ}=\frac{AE}{AB}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，
故$\cos144^{\circ}=\cos(180^{\circ}-36^{\circ})=-\cos36^{\circ}=-\frac{1+\sqrt{5}}{4}$。